8. Гармонические тензорные поля

Отметим прежде всего, что на компактном кэлеровом многообразии, как и на вещественном многообразии, антисимметричное тензорное поле тогда и только тогда гармонично, когда выполнено условие

Далее, если антисимметричное тензорное поле (не обязательно, самоприсоединенное) удовлетворяет условию (8.72), то этому же условию удовлетворяет каждый чистый тензор типа

полученный из тензора Отсюда мы делаем следующее заключение:

Теорема 8.14. Если на компактном кэлеровом многообразии антисимметричный тензор гармоничен, то чистый тензор (8.73) типа полученный из

также гармоничен. Более того, присоединенный тензор

также гармоничен (Ходж [1], Экман и Гугенхаймер [1], [2], [3], [4]).

Если антисимметричное тензорное поле

гармонично, то по теореме 8.14 тензорное поле

гармонично, и мы имеем равенство

Отсюда, положив получим

и, следовательно, можем заключить, что компоненты

— комплексно аналитические функции от координат Аналогично мы можем доказать, что

а отсюда следует

Теорема 8.15. В компактном кэлеровом многообразии компоненты

гармонического тензора

— комплексно аналитические функции от координат, а компоненты

— аналитические функции от сопряженных координат. Обратно, если компоненты

антисимметричного тензорного поля

(не обязательно самоприсоединенного) — комплексно аналитические функции от координат то имеем

Из тождества Риччи

получаем после свертывания с следующие уравнения:

Эти уравнения показывают, что тензор

удовлетворяет условию

и, следовательно, гармоничен.

Теорема 8.16. на компактном кэлеровом многообразии компоненты антисимметричного ковариантного чистого тензора типа нуль суть комплексно аналитические функции от координат, то этот тензор гармоничен. Если компоненты антисимметричного ковариантного тензора типа и валентности суть функции, комплексно сопряженные аналитическим функциям

от координат, то такой тензор также гармонический (Экман и Гугенхаймер [3]).

Из всего изложенного выше заключаем:

Теорема 8.17. Если на компактном кэлеровом многообразии компоненты

антисимметричного тензорного поля

вида

— комплексно аналитические функции от координат, а компоненты

этого тензора суть функции, комплексно сопряженные аналитическим функциям от координат, то тензор — гармонический.

Таким образом, антисимметричное тензорное поле вида

гармонично тогда и только тогда, когда компоненты

— комплексно аналитические функции от координат, а компоненты

— комплексно аналитические функции от сопряженных координат.