Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8. Гармонические тензорные поляОтметим прежде всего, что на компактном кэлеровом многообразии, как и на вещественном многообразии, антисимметричное тензорное поле тогда и только тогда гармонично, когда выполнено условие
Далее, если антисимметричное тензорное поле (не обязательно, самоприсоединенное) удовлетворяет условию (8.72), то этому же условию удовлетворяет каждый чистый тензор типа
полученный из тензора Теорема 8.14. Если на компактном кэлеровом многообразии антисимметричный тензор
также гармоничен. Более того, присоединенный тензор
также гармоничен (Ходж [1], Экман и Гугенхаймер [1], [2], [3], [4]). Если антисимметричное тензорное поле
гармонично, то по теореме 8.14 тензорное поле
гармонично, и мы имеем равенство
Отсюда, положив
и, следовательно, можем заключить, что компоненты
— комплексно аналитические функции от координат
а отсюда следует Теорема 8.15. В компактном кэлеровом многообразии компоненты
гармонического тензора
— комплексно аналитические функции от координат, а компоненты
— аналитические функции от сопряженных координат. Обратно, если компоненты
антисимметричного тензорного поля
(не обязательно самоприсоединенного) — комплексно аналитические функции от координат
Из тождества Риччи
получаем после свертывания с следующие уравнения:
Эти уравнения показывают, что тензор
удовлетворяет условию
и, следовательно, гармоничен. Теорема 8.16. на компактном кэлеровом многообразии компоненты антисимметричного ковариантного чистого тензора типа нуль суть комплексно аналитические функции от координат, то этот тензор гармоничен. Если компоненты антисимметричного ковариантного тензора типа от координат, то такой тензор также гармонический (Экман и Гугенхаймер [3]). Из всего изложенного выше заключаем: Теорема 8.17. Если на компактном кэлеровом многообразии компоненты
антисимметричного тензорного поля
вида
— комплексно аналитические функции от координат, а компоненты
этого тензора суть функции, комплексно сопряженные аналитическим функциям от координат, то тензор Таким образом, антисимметричное тензорное поле вида
гармонично тогда и только тогда, когда компоненты
— комплексно аналитические функции от координат, а компоненты
— комплексно аналитические функции от сопряженных координат.
|
1 |
Оглавление
|