4. Фундаментальная формула

В компактном ориентируемом римановом многообразии мы образуем с помощью антисимметричного тензора вектор

имеющий дивергенцию

Из тождества Риччи

находим, свертывая по индексам

Подставляя полученное выражение в (3.13) и используя равенство

находим

Но в соответствии с тождеством

член

появляющийся в правой части вышеприведенного уравнения, может также быть записан как

и, таким образом, мы имеем

Рассмотрим далее вектор

и его дивергенцию

Из (3.14)-(3.15) получим

Интегрируя обе части равенства (3.16) по всему многообразию и применяя теорему 2.4, найдем

где

Теперь ввиду антисимметричности тензора всем индексам получается

где обозначает антисимметричную часть тензора

Подставляя полученное выражение в (3.17), найдем соотношение

имеющее такое же значение, как и (3.17) (Яно [4]).