4. Комплексные аналитические многообразия, допускающие транзитивную коммутативную группу преобразований

Мы будем рассматривать комплексное аналитическое многообразие вещественной размерности которое допускает транзитивную коммутативную группу преобразований с инфинитезимальными операторами

где обозначает аналитических контравариантных векторных полей. Из транзитивности группы следует, что и ранг матрицы равен В силу коммутативности группы имеем

Введем теперь эрмитово тензорное поле

Благодаря постулированной транзитивности группы тензор строго положительно определен и, следовательно, имеет обратный тензор

С другой стороны, умножив (8.55) на и суммируя по мы получим

Умножив это равенство на и суммируя по а, мы найдем

откуда

таким образом, удовлетворяет условию Кэлера. В силу этого будут иметь вид

Поэтому

Но, с другой стороны, умножив (8.55) на и суммируя по найдем

или

Это показывает, что

Таким образом, в построенной метрике векторные поля параллельны.

Отсюда вытекает, что в тождестве Риччи

левая часть тождественно равна нулю, а, следовательно, также и правая часть тождественно равна нулю. Но имеет всюду максимальный ранг, так что

Таким образом, наше многообразие есть плоское кэлерово многообразие. Поэтому в окрестности каждой точки мы можем допустимым образом нормализовать метрический тензор так, что

Эта нормализация показывает, что ковариантные векторные поля

также аналитические и параллельные, так что, в частности, выполняется равенство

Поэтому могут быть введены абелевых интегралов

Если, например, первые из них линейно независимы в точке то они будут линейно независимыми всюду на многообразии. Эти интегралов аналитически и локально взаимно-однозначно отображают многообразие в эвклидово многообразие. Отсюда следует

Теорема 8.7. Пусть комплексное аналитическое многообразие вещественной размерности Если для некоторого на имеются аналитических контравариантных векторных полей таких, что их ранг всюду имеет максимальное значение и выполняется тождественно условие (8.55), то на многообразии существует простых абелевых интегралов первого рода, которыми оно аналитически и локально взаимно-однозначно отображается в эвклидово многообразие. В частности, если компактно, то оно — комплексный тор комплексной размерности (Бохнер [9]).