2. Выпуклость
Если риманово многообразие 
изометрически погружено в эвклидово 
то на 
существует 
симметричных тензоров 
таких, что для тензора кривизны будет иметь место представление
Примем теперь более общее допущение, что для нашего 
тензор кривизны имеет указанное представление в окрестности каждой точки с тензорами 
определенными только в каждой отдельной окрестности; условимся на минуту называть 
внутренне полувыпуклым, если все — неотрицательно определенные, и внутренне выпуклым, если хотя бы один из этих тензоров положительно определенный. Можно также ограничиться в случае полувыпуклости более общим предположением, что в каждой окрестности тензор 
является лишь пределом, в смысле равномерной сходимости, выражений вида (9.9), в которых каждый из тензоров 
- неотрицательно определенный.
Теперь, рассматривая выражение
для тензора кривизны вида (9.9), мы получим как следствие теоремы 3.4 следующее утверждение:
Теорема 9.3. Если компактное ориентируемое риманово многообразие внутренне выпукло, то первые два числа Бетти равны нулю, 
если многообразие полувыпукло, то гармонические векторы и тензоры должны иметь ковариантные производные, равные нулю.
Если в 
то можно даже высказать следующее утверждение о всех числах Бетти:
Теорема 9.4. Если компактное ориентируемое риманово многообразие изометрически выпукло погружено в эвклидово 
и если наибольшая и наименьшая главные кривизны отличаются не более чем в два раза, то все числа Бетти равны нулю.
Эта теорема формулировалась у Лихнеровича [9] и также может быть получена из теоремы 5.1 настоящей книги.
