8. Почти автоморфные векторные и тензорные поля

Менее тривиальное обобщение получается следующим образом. Допустим, что компактно, и введем его универсальное накрывающее пространство может быть не компактное, и не будем налагать ограничений на природу фундаментальной группы Если элементы суть

то каждое определяет гомеоморфизм С каждой точкой из мы связываем последовательность точек

каждые две из которых "эквивалентны" между собой. Исходное многообразие может быть соответствующим образом отождествлено с пространством последовательностей

с другой стороны, в имеется компактное подмножество содержащее эквивалентную точку для любой точки из Для любой заданной последовательности (9.34) мы сможем сказать, что каждое "накрывает" или "лежит над" обратно, что является "проекцией"

Если на задана какая-либо структура, дифференцируемая или аналитическая, то тогда на имеется структура, для которой данная служит проекцией; эта структура на "периодическая" (или "автоморфная") в том смысле, что если координатная окрестность элемент то снова является такой окрестностью.

Мы говорим, что скалярная или тензорная функция, заданная на периодична (или автоморфна), если для всех выполняется равенство (в случае скаляра) или вектора) или аналогичное соотношение в случае тензора. Всякая периодическая функция на определяет функцию ("проекцию") на самом с помощью условия и обратно, любая функция на определяет на периодическую функцию с помощью В частности, если на задан метрический тензор то он периодически продолжается на и мы сохраняем за ним обозначение

Назовем теперь непрерывную функцию на "почти периодической" (или "почти автоморфной", в любом случае "по отношению к заданной группе если всякая бесконечная последовательность элементов содержит бесконечную подпоследовательность такую, что последовательность функций

сходится равномерно во всем пространстве Это определение пригодно также для векторов и тензоров, если равномерность сходимости понимать для них в связи со структурой пространства. Лучше всего ввести условие равномерной сходимости с помощью метрического тензора предполагаемого периодическим; если, например, задан вектор то последовательность "перенесенных" векторов сходится равномерно к предельному вектору если скалярный квадрат

стремится к нулю при равномерно в аналогичное определение применимо и к тензорам.

Почти периодические функции и тензоры обладают следующими свойствами. Прежде всего благодаря компактности ранее введенного множества всякая периодическая функция почти периодична, а всякая почти периодическая ограничена. Постоянная функция, конечно, почти периодична. Сумма и произведение почти периодических функций, скалярных или тензорных, почти периодичны; результат свертывания почти периодических тензоров почти периодичен, и, наконец, имеет место следующее свойство, важнейшее для наших рассуждений. Если скалярная или тензорная функция почти периодична и если для некоторой последовательности элементов последовательность сходится равномерно к предельной функции то последовательность функций где через обозначен элемент группы обратный к вновь сходится к исходной функции

Теперь можно дать следующее обобщение теоремы 2.3:

Теорема 9.11. Если функция на почти периодична вместе со всеми своими производными если на то и потому опять

Доказательство. Будучи почти периодической, функция ограничена, и для найдется последовательность точек такая, что Далее, существует элемент такой, что лежит в Так как компактно и наша функция почти периодическая, то мы можем считать (выбрав, быть может, бесконечную подпоследовательность), что имеют место следующие предельные соотношения. Во-первых, последовательность точек сходится к точке в обозначаемой нами во-вторых, все последовательности равномерно сходятся; предел первой из них мы обозначим через Тогда благодаря равномерной сходимости всех указанных последовательностей мы будем иметь

и затем, так как

из равномерной сходимости будет следовать, что для предельной функции справедливо т. е. принимает наибольшее значение в некоторой точке. Отсюда и из (9.35) следует, что но — и этот последний шаг является решающим — исходную функцию можно получить из предельной как предел и поскольку доказано постоянство то и исходная функция должна быть постоянной, как это и утверждалось.

Установив теорему 9.11, мы можем обобщить многие предложения; приведем только одну формулировку:

Теорема 9.12. Если вектор определен в и удовлетворяет условиям

и если непрерывны и почти периодичны, то в случае положительности кривизны Риччи вектор должен быть тождественно равен нулю.

Мы должны, конечно, именовать вектор со свойством (9.36) гармоническим (почти периодическим) вектором на но нам неизвестно непосредственной интерпретации этого в терминах когомологий. Напротив, возможно, что лучший путь определения почти периодического коцикла состоит в том, чтобы, отправляясь от определения (9.36) гармонического вектора, ввести топологическое определение, соответствующее дифференциально-геометрическим данным.

Заметим еще, что в предыдущих теоремах 9.11 и 9.12 метрический тензор сам предполагался периодическим. Но мы могли бы допустить, что он является почти периодическим, и все же наши выводы не претерпели бы изменения,

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)