3. Ковариантные и контравариантные аналитические векторные поля

Если компоненты ковариантного векторного поля — комплексно аналитические функции от координат то

Поэтому из тождества Риччи

мы получаем

а отсюда следует равенство

Если функция вещественна, то

или

Если мы положим

то примет вид лапласиана в вещественных переменных следовательно, теорема 2.3 Хопфа — Бохнера приложима и в случае кэлерова многообразия.

Если компоненты самоприсоединенного векторного поля — комплексно аналитические функции координат, то для

найдем

или, приняв во внимание (8.48),

Таким образом, имеет место

Теорема 8.5. Если в компактном кэлеровом многообразии то самоприсоединенное ковариантное векторное поле, компоненты которого — аналитические функции координат, должно иметь ковариантную производную, равную нулю; если же форма положительно определена, то не существует таких векторных полей, отличных от нуля (Бохнер [2]).

Для контравариантного вектора с комплексно аналитическими компонентами имеем

Тождество Риччи

влечет за собой равенство

а отсюда следует

Теперь мы имеем

Подстановкой равенства (8.52) находим

Отсюда делаем следующее заключение:

Теорема 8.6. Если в компактном кэлеровом многообразии О, то самоприсоединенное контравариантное векторное поле, компоненты которого — аналитические функции координат, должно иметь ковариантную производную, равную нулю; если же форма отрицательно определена, то не существует таких контравариантных векторных полей, отличных от нуля (Бохнер [2]).