9. Производные Ли гармонических тензоров

Тензор называется гармоническим, если удовлетворяются следующие три условия:

антисимметричен относительно всех индексов, (2.56)

или в развернутом виде

и кроме того,

Хорошо известно, что в компактном ориентируемом римановом многообразии число линейно независимых (относительно постоянных коэффициентов) гармонических тензоров валентности равно р-мерному числу Бетти данного многообразия (Ходж [1]).

Предположим теперь, что многообразие допускает однопараметрическую группу движений, порожденную инфинитезимальным движением

и положим

так что

и ковариантное дифференцирование и производная Ли перестановочны.

Если мы теперь применим оператор к гармоническому тензору то увидим, что

Таким образом, производная Ли

есть снова гармонический тензор.

Но, с другой стороны, из нашего общего определения вытекает:

откуда видно, что гармоническая дифференциальная форма

есть внешняя производная формы

и, так как гармоническая форма, являющаяся внешней производной другой формы, тождественно равна нулю, получаем:

Теорема 2.13. Если компактное ориентируемое риманово многообразие допускает однопараметрическую группу движений, то производная Ли гармонического тензора относительно этой группы тождественно равна нулю (Яно [3]).

Если на многообразии существует гармонический вектор и вектор Киллинга то, применяя теорему 2.13, получим

откуда заключаем

что дает другое доказательство теоремы 2.12 для ориентируемого многообразия.