2. Тензорная алгебра

Если в некоторой системе координат (я задана форма (1.3) и если в другой системе координат соответственно положим

то мы должны иметь

Вообще если некоторый объект представлен величиной в системе координат (я и величиной в какой-либо другой системе координат и если

то мы называем этот объект скаляром, а его компонентами в соответствующих системах координат и Таким образом, ds есть компонента скаляра.

Из (1.2) имеем

Вообще если некоторый объект представлен величинами в системе координат величинами в какой-либо другой системе координат и если

то мы называем этот объект контравариантным вектором, его компонентами в соответствующих системах координат Таким образом, величины являются компонентами контравариантного вектора в системе координат

Если некоторый объект определен в каждой точке координатной окрестности то его компоненты являются функциями от Мы говорим, что в таком случае имеется поле объекта. Если мы обозначим через компоненты скалярного поля в соответствующих системах координат то будем иметь

откуда, беря частные производные, получим

Вообще если некоторый объект представлен величинами в системе координат и величинами в какой-либо другой системе координат и если

то мы называем этот объект ковариантным вектором, его компонентами в соответствующих системах координат Если есть компонента скалярного поля, то производные являются компонентами ковариантного вектора. Мы называем такого рода специальный ковариантный вектор градиентом скалярного поля

Из условия имеем

Вообще если некоторый объект представлен величинами

в системе координат

в какой-либо другой системе координат и если

то мы называем этот объект смешанным тензором контравариантной валентности и ковариантной валентности а

и

— его компонентами в соответствующих системах координат

Тензор, имеющий только контравариантную валентность, называется контравариантным тензором, а тензор, имеющий только кова-риантную валентность, называется ковариантным тензором. Таким образом, являются компонентами ковариантного тензорного поля.

Так как мы предположили, что форма (1.3) положительно определена, то

и, следовательно, мы можем определить величины

Таким образом, имеем

где величины являются известными символами Кронекера.

Легко видеть, что являются компонентами контравариантного тензора, а суть компоненты смешанного тензора. Мы называем и соответственно ковариантным, контравариантным и смешанным фундаментальными тензорами.

Если, например, компоненты некоторого тензора удовлетворяют условию

то говорят, что они симметричны относительно если выполняется условие

то говорят, что они антисимметричны относительно

Легко доказать, что если компоненты тензора симметричны или антисимметричны в какой-либо системе координат, то они являются таковыми же и в любой другой системе координат. Если компоненты контравариантного или ковариантного тензора симметричны (антисимметричны) относительно всех индексов, то мы называем тензор симметричным (антисимметричным) тензором. Так, оба тензора и являются симметричными.

Определим теперь некоторые алгебраические операции, которые могут быть применены "к тензорам.

I. Сложение и вычитание

Пусть, например, являются компонентами двух однотипных тензоров, тогда суммы

являются компонентами тензора того же типа, и этот тензор называется суммой двух данных тензоров. Разность двух тензоров определяется аналогичным образом.

II. Умножение

Пусть, например, являются компонентами двух тензоров каких-либо типов, тогда произведения

являются также компонентами тензора, тип которого определяется положением индексов. Этот тензор называется произведением двух данных тензоров.

III. Свертывание

Пусть, например, являются компонентами смешанного тензора, тогда величины

являются компонентами тензора, имеющего на два индекса меньше, чем исходный тензор. В этом случае мы говорим, что мы свернули тензор по и I и получили тензор Поднятие и опускание индексов

Если компоненты контравариантного вектора, то в силу II являются компонентами смешанного тензора и, следовательно, являются в силу III компонентами ковариантного вектора. Мы обозначаем его Аналогично, если компоненты ковариантного вектора, то являются, согласно II, компонентами смешанного тензора и, следовательно, являются, согласно III, компонентами контравариантного вектора. Мы обозначаем его Очевидно, что если

то

Мы скажем, что сопряжены друг другу. Таким образом, мы вводим объект, который может быть представлен компонентами или по нашему выбору. Мы назовем его вектором, а и -соответственно его контравариантными или ковариантными компонентами.

То же самое можно высказать и для компонент некоторого тензора, что иллюстрируется следующими примерами:

Мы говорим, что в первом случае мы опустили индекс а во втором случае подняли индекс и что при этом мы имеем дело с компонентами одного и того же тензора.

V. Симметрирование и альтернирование

Рассмотрим, например, ковариантный тензор Тк. Образуем сумму всех компонент, полученных из всевозможными перестановками индексов и разделим ее на 3! (число всевозможных перестановок). Обозначим результат через

и назовем его симметричной частью

Легко показать, что являются компонентами симметричного ковариантного тензора; операция перехода от тензора к его симметричной части называется симметрированием тензора Если исходный тензор симметричен, то имеем

Рассмотрим снова, например, ковариантный тензор Тк и все компоненты, полученные из всевозможными перестановками. Поставим теперь знак плюс перед компонентами, полученными из четными перестановками индексов, и знак минус — перед компонентами, полученными из нечетными перестановками, и образуем алгебраическую сумму этих компонент, деленную на Обозначим полученный объект

и назовем его антисимметричной частью Легко видеть, что являются компонентами антисимметричного ковариантного тензора; операция называется альтернированием Если исходный тензор антисимметричен, то

Можно считать, что формула (1.3) определяет длину контравариантного вектора Определим аналогично длину X контравариантного вектора

Если мы обозначим ковариантные компоненты этого вектора через то написанная выше формула может быть переписана в следующих различных видах:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Если и (а — единичные векторы, то:

Отсюда можно доказать, что

Учитывая это, можно определить угол между двумя единичными векторами и при помощи формулы

а угол между двумя произвольными векторами при помощи формулы

Уравнение (1.14) дает

Это выражение называется скалярным произведением векторов

Из формулы (1.14) следует, что два вектора ортогональны друг другу, если

Далее из закона преобразования

находим

а с другой стороны, закон преобразования в -кратном интеграле дает

Следовательно, из этих двух уравнений получаем

откуда видно, что

есть скаляр. Мы принимаем за элементарный объем нашего риманова многообразия.