6. Конформно-киллингов тензор
Если векторное поле 
определяет однопараметрическую группу конформных преобразований, то
где 
следовательно, мы имеем
вдоль любой геодезической 
и потому 
зависит только от точки, но не от направления геодезической, через нее проходящей.
С целью получения аналогичного свойства для антисимметричного тензора 
допустим, что выражение
зависит только от точки, но не от направления геодезической, через нее проходящей; тогда из (3.21) получим
где
Антисимметричное тензорное поле 
удовлетворяющее уравнению (3.22), будет называться конформно-киллинговым. Из (3.22) получается
и, следовательно,
откуда в силу уравнения (3.17)
Получена, следовательно,
Теорема 3.6. В компактном ориентируемом римановом многообразии 
для поля конформно-киллингова тензора валентности 
удовлетворяющего неравенству
выполняется равенство
и автоматически
В частности, если форма отрицательно определенная, то не существует поля конформно-киллингова тензора валентности 
отличного от нулевого (Яно [4]).
