13. Необходимое и достаточное условие того, чтобы вектор был гармоническим

Мы знаем, что если является гармоническим вектором

т. е. если выполняются условия

то имеет место

Докажем теперь обратное.

Для произвольного векторного поля положим

и образуем

Применяя теорему 2.4, находим

С другой стороны, мы знаем, что

Следовательно, получаем

что может быть также переписано в виде

Это уравнение Показывает, что если вектор удовлетворяет соотношениям (2.74), то

т. е. вектор гармонический. Таким образом, имеем теорему:

Теорема 2.15. Необходимое и достаточное условие для того у чтобы в компактном ориентируемом римановом многообразии векторное поле было гармоническим, заключается в выполнении равенств