13. Необходимое и достаточное условие того, чтобы вектор был гармоническим
Мы знаем, что если является гармоническим вектором
т. е. если выполняются условия
то имеет место
Докажем теперь обратное.
Для произвольного векторного поля 
положим
и образуем
Применяя теорему 2.4, находим
С другой стороны, мы знаем, что
Следовательно, получаем
что может быть также переписано в виде
Это уравнение Показывает, что если вектор удовлетворяет соотношениям (2.74), то
т. е. вектор гармонический. Таким образом, имеем теорему:
Теорема 2.15. Необходимое и достаточное условие для того у чтобы в компактном ориентируемом римановом многообразии 
векторное поле 
было гармоническим, заключается в выполнении равенств
