Глава III. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРЫ КИЛЛИНГА

1. Некоторые приложения теоремы Хопфа — Бохнера

В этом разделе мы предполагаем, что рассматриваемое многообразие — класса а функции класса

Рассмотрим тензорное поле класса и положим

так что

Так как

является положительно определенной формой относительно

то, если удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида

и если квадратичная форма

удовлетворяет условию

то

Следовательно, на основании теоремы 2.3

и

Если квадратичная форма (3.2) положительно определенная, то из последнего вытекает

Таким образом получается

Теорема 3.1. В компактном римановом многообразии для тензорного поля удовлетворяющего условиям

и

выполняется равенство

Если квадратичная форма (3.2) положительно определенная, то не существует отличных от нулевого тензорных полей, удовлетворяющих условиям теоремы.

Если мы теперь рассмотрим произвольное антисимметричное тензорное поле

класса то, используя надлежащим образом тождества Риччи, мы получим

Таким образом, мы видим, что если антисимметричный тензор удовлетворяет соотношению

то он также удовлетворяет равенству

и, следовательно,

Поэтому если мы введем квадратичную форму

то получим следующую теорему:

Теорема 3.2. В компактном римановом многообразии для антисимметричного тензорного поля, удовлетворяющего условию (3.4) и неравенству

выполняется равенство

и автоматически

В частности, если форма положительно определенная, то не существует антисимметричного тензорного поля, отличного от нулевого и удовлетворяющего условию (3.4). Подобно (3.3), мы получаем также

Таким образом, если антисимметричный тензор удовлетворяет условию

то он удовлетворяет также и следующему условию:

Итак, мы получаем соотношение

где символ имеет прежнее значение; следовательно, имеет место

Теорема 3.3. В компактном римановом многообразии для антисимметричного тензорного поля, удовлетворяющего условию (3.7) и неравенству

выполняется равенство

и автоматически

В частности, если форма отрицательно определенная, то не существует антисимметричного тензорного поля, отличного от нулевого и удовлетворяющего условию (3.7).