12. Эффективные гармонические тензоры в плоских многообразиях

Мы возвращаемся сейчас к анализу квадратичной формы

для антисимметричного тензора Мы постараемся выяснить, когда она положительна в кэлеровой метрике, причем тензор будем предполагать эффективным и самоприсоединенным. Это будет иметь то приложение, что если таких тензоров не существует, то по теореме 8.23 мы должны иметь

Пусть выполняется равенство

Тогда

откуда

С другой стороны, очевидно, что

и, следовательно,

в силу

При этом мы имеем выражение для

положительное при

Теорема 8.24. На компактном кэлеровом многообразии поло жительной постоянной аналитической кривизны имеем

Мы рассмотрим теперь как формальный аналог проективного и конформного тензоров кривизны Вейля следующие тензоры:

и

которые были введены в работе Бохнера [6]. Эти тензоры удовлетворяют соотношениям

Так как для многообразий постоянной аналитической кривизны выполняются равенства

то очевидно, что для таких многообразий

Обратно, если мы предположим, что на некотором многообразии

то получим

подставляя это в равенство

мы находим

или

Умножая это на и свертывая, получаем равенство или

Подставив это равенство в формулы (8.130), находим

Отсюда заключаем, что наше многообразие имеет постоянную аналитическую кривизну.

Аналогично в случае — получаем

и, свернув с имеем

А тогда из формулы (8.131) находим

Таким образом, снова справедливо, что это многообразие имеет постоянную аналитическую кривизну. Рассмотрим условие

т. е.

Условие (8.132) влияет на числа Бетти так же, как постоянство аналитической кривизны, хотя и не влечет ее за собой.

В самом деле, для эффективного тензора мы имеем

Следовательно,

Отсюда делаем следующее заключение:

Теорема 8.25. Если на компактном кэлеровом многообразии и форма положительно определена, то

для , таким образом, (Бохнер [6]).

Для того чтобы получить некоторый результат для всех мы введем тензор

и величину

и 5 измеряют отклонение многообразия от эйнштейнова. Подставив

в формулу (8.133), получим

Но для

справедливы неравенства

и, следовательно,

Отсюда получаем следующую теорему:

Теорема 8.26. Если на компактном кэлеровом многообразии то для всех размерностей.