3. Отклонение от конциркулярно-эвклидовости

В римановом многообразии геодезическая окружность определяется как кривая, первая кривизна которой постоянна, а вторая, третья и т. д. кривизны равны нулю. Дифференциальное уравнение геодезических окружностей имеет вид

где обозначает ковариантное дифференцирование вдоль кривой, длина дуги.

При произвольном конформном преобразовании

любая геодезическая окружность преобразуется в геодезическую окружность тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет соотношению

где

Такое конформное преобразование называется конциркулярным (Яно [1]). Тензор

остается инвариантным при любом конциркулярном преобразовании, и условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы риманово многообразие могло быть сведено к эвклидову пространству при помощи соответствующего конциркулярного преобразования.

Мы назовем такое риманово многообразие конциркулярно-эвклидовым. Легко видеть, что если многообразие является конциркулярно-эвклидовым, то оно будет многообразием постоянной кривизны, и обратно, многообразие, имеющее постоянную кривизну, является конциркулярно-эвклидовым. Если мы подставим

в форму (3.6), то получим

Для измерения отклонения от конциркулярно-эвклидовости введем величину

Если форма является положительно определенной, то

если же эта форма является отрицательно определенной, то

и, следовательно, получаем вывод:

Теорема 5.5. Если в компактном ориентируемом римановом многообразии с положительной кривизной Риччи имеет место неравенство

то если для многообразия с отрицательной кривизной Риччи имеет место неравенство

то не существует отличного от нуля (конформного) тензорц Киллинга валентности (Яно [4]),