11. Некоторые приложения фундаментальной формулы

Во-первых, если есть поле гармонического вектора, то

и, следовательно, фундаментальная формула (2.69) дает:

Но так как

и наша метрика положительно определенная, то

(равенство имеет место тогда и только тогда, когда и, следовательно, если

то из (2.70) заключаем, что

Более того, если есть положительно определенная форма, то из (2.70) заключаем, что

и это дает другое доказательство теоремы 2.9 для ориентируемого многообразия (Яно [3]).

Далее, если есть поле вектора Киллинга, то

и, следовательно, фундаментальная формула (2.69) дает

так что условие

влечет за собой соотношения

Более того, если отрицательно определенная форма, то из (2.71) заключаем, что

и это дает другое доказательство теоремы 2.10 для ориентируемого многообразия (Яно [3]).