11. Тензор hij

Кэлеровой метрике

где

соответствует следующий закон преобразования фундаментального тензора:

Если мы положим

то получим

Это уравнение показывает, что если мы определим антисимметричную величину равенством

то есть антисимметричный ковариантный тензор. Так как

то этот тензор самоприсоединен.

Если мы положим по определению

и

то выразятся так:

выразятся матрицей

Из (8.90) мы получим соотношение

которое может быть также записано в виде

Из (8.90) следует, что

Обозначив

мы получаем равенства

Более того, мы легко можем проверить следующие соотношения:

и

где

С другой стороны, используя формулы

получаем соотношения

и

Далее, из равенства и тождества Риччи

мы имеем

что эквивалентно равенству

Из формулы (8.103) мы получаем соотношения

и

из которых следует равенство

С другой стороны, умножая формулу (8.102) на и свертывая, получаем

или

Из уравнения (8.107), если его записать в виде

и из антисимметрии тензора относительно и I следует равенство

Иначе оно может быть записано в виде

или

Далее, из формулы (8.102) вытекают равенства

и

Умножая соотношения (8.110) на и свертывая, получаем

или

Аналогично докажем, что

После этого, умножая соотношения (8.110) на и свертывая, находим

или

Аналогично докажем, что

Из формул (8.114) и (8.115) получаем соотношения

а отсюда

Следовательно,

Из формулы (8.108) получаем соотношения

и

Далее, если вектор гармонический, то мы имеем равенство

Отсюда следует

а эти уравнения показывают, что если вектор гармоничен, то векторы также гармоничны.

Аналогично можно доказать, что если тензорное поле

гармонично, то

и

— также гармонические тензорные поля.

Назовем антисимметричный тензор при эффективным, если выполняется соотношение

Так как мы имеем

то легко видеть, что равенство (8.121) эквивалентно равенству

Рассматривая эффективные гармонические тензоры на компактном кэлеровом многообразии, Ходж [1] доказал следующую фундаментальную теорему, которую мы будем использовать:

Теорема 8.23. На компактном кэлеровом многообразии вещественной размерности имеют место неравенства

а число есть число линейно независимых (относительно постоянных коэффициентов) самоприсоединенных гармонических эффективных тензоров валентности

Таким образом, если не существует самоприсоединенных гармонических эффективных тензоров, то