Глава II. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И ВЕКТОРЫ КИЛЛИНГА

1. Теорема Э. Хопфа

В -мерной координатной окрестности рассмотрим линейный дифференциальный оператор второго порядка эллиптического типа

где непрерывные функции точки а квадратичная форма предполагается положительно определенной всюду в

Мы докажем важную теорему, принадлежащую Хопфу [1]:

Теорема 2.1. Если в координатной окрестности функция класса удовлетворяет неравенству и если в этой окрестности существует фиксированная точка такая, что всюду в то всюду в имеет место равенство Если всюду в то всюду в имеет место равенство

Чтобы доказать первую часть теоремы, предположим, что где и докажем, что это предположение приводит к противоречию.

Рассматривая как координаты точки в -мерной эвклидовой области мы используем дальше терминологию эвклидовой геометрии.

Так как мы допустили, что в области то в этой области существует такая точка что Если мы возьмем теперь шар достаточно малого радиуса с центром в С, то получим, что на всем этом шаре.

Далее, увеличивая радиус этого шара, мы можем найти такой шар что

в некоторой точке которая лежит на пересечении области и поверхности этого шара, и

на пересечении области и внутренней части шара.

Теперь рассмотрим шар поверхность которого касается поверхности шара в точке целиком лежащий в области и в шаре Обозначим радиус шара 5 через Тогда мы получим

только в одной точке на поверхности шара 5 и

в других точках поверхности и внутри этого шара.

Далее рассмотрим шар с центром в точке радиус которого

и который лежит целиком внутри области Поверхность шара делится на две части поверхностью шара Обозначим часть поверхности шара лежащую внутри и на границе шара 5, через а часть, лежащую вне шара через На мы имеем следовательно, — для некоторого фиксированного

Таким образом,

Возьмем теперь центр шара в качестве начала ортогональной системы координат и рассмотрим функцию

где а — положительная константа, а

Применяя оператор к функции найдем, что

Так как то начало системы координат, т. е. центр шара лежит вне шара Поскольку на поверхности и внутри шара

и, следовательно,

то, взяв а достаточно большим, мы можем считать

С другой стороны,

Наконец, положим

где - положительное малое число, выбранное таким образом, что

Этот выбор возможен в силу первого уравнения (2.4). Из (2.4) и (2.6) имеем

и, следовательно, на всей поверхности шара выполняется неравенство

Но из (2.1) и (2.6) в центре шара мы имеем

Следовательно, функция достигает максимума в точке, которая является внутренней точкой шара А это невозможно, так как, вследствие того что

и

мы имеем

С другой стороны, в точке, где функция достигает максимума, оператор сводится к

и мы должны иметь

для любых Следовательно, так как форма является положительно определенной, а форма -неположительной, то

что противоречит (2.7).

Таким образом, первая часть теоремы доказана. Вторая часть может быть доказана аналогичным образом.

Теперь предположим, что в компактном многообразии задана функция класса удовлетворяющая всюду в условию

Так как это многообразие компактно и функция непрерывна в этом компактном многообразии, то там существует точка в которой функция достигает максимума, так что

всюду в Следовательно, в силу теоремы (2.1) мы имеем

в некоторой окрестности точки Но точки, где достигает своего максимума, образуют замкнутое множество, и, таким образом, мы получаем следующее заключение:

Теорема 2.2. Если в компактном пространстве функция удовлетворяет условию

где суть коэффициенты квадратичной формы, положительно определенной в любой точке то

всюду в

Кроме того, так как в компактном римановом многообразии с положительно определенной метрикой имеет место равенство

то мы можем установить так называемую лемму Бохнера:

Теорема 2.3. Если в компактном римановом многообразии с положительно определенной метрикой функция удовлетворяет условию

то

всюду в этом многообразии (Бохнер [2]).