5. Интегральные формулы
В этом разделе мы рассмотрим компактное ориентируемое метрическое многообразие с кручением и предположим, что тензор кручения 
удовлетворяет условию
Это условие удовлетворяется автоматически, если ковариантный тензор кручения 
антисимметричен по всем индексам. Во-первых, для всякого вектора 
имеем
откуда в силу (7.40)
где 
детерминант матрицы 
Таким образом, для всякого векторного поля 
мы имеем
где интеграл берется по всему многообразию, 
есть элемент объема.
Применяя сначала эту формулу к вектору найдем
или
в силу тождества Риччи
Применяя далее эту формулу к вектору получим
и, следовательно,
Если вектор псевдогармонический, то последнее уравнение приобретает вид
что дает другое доказательство теоремы 7.9 для компактного ориентируемого метрического многообразия с кручением, удовлетворяющим условию 
Если вектор 
— псевдокиллингов, то уравнение (7.45) принимает
что дает другое доказательство теоремы 7.14 для компактного ориентируемого метрического многообразия с кручением, удовлетворяющим тому же условию.
Обобщение формулы (7.45) на случай антисимметричного тензора приводит к формуле
при помощи которой теоремы 7.13 и 7.15 могут быть снова доказаны для случая 
