7. Некомпактные многообразия и нулевые граничные значения

Многие из наших основных теорем вытекали из леммы о том, что если всюду на компактном римановом многообразии выполняется неравенство то должно быть следовательно, При этом компактность многообразия использовалась только для того, чтобы можно было утверждать, что заданная непрерывная функция достигает на многообразии своего наибольшего значения.

Допустим теперь, что многообразие произвольное, некомпактное, но примем, что непрерывная функция имеет "нулевые граничные значения" в следующем смысле: для каждого найдется компактное подмножество многообразия такое, что в будет иметь место неравенство Тогда функция снова должна будет принимать наибольшее значение и лемма окажется приложима, что приводит нас к следующему выводу. Если кривизна Риччи положительна и если для некоторого векторного поля такого, что выполняются равенства

скалярная функция имеет "нулевые граничные значения" в указанном смысле, то должно быть Другие теоремы, допускающие подобные обобщения, суть 2.10, 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.13, 7.14, 7.15.

Заметим также, что речь идет о подлинном обобщении в логическом смысле, так как в случае, когда компактно и произвольная непрерывная на функция, мы можем принять за все многообразие и на (пустом) множестве будем иметь как и требуется.