2. Отклонение от проективно-эвклидовости

Рассмотрим м-мерное риманово многообразие. Если для любой координатной окрестности этого многообразия существует взаимнооднозначное соответствие между этой окрестностью и областью эвклидова пространства такое, что всякой геодезической линии риманова многообразия соответствует прямая линия эвклидова пространства, то говорят, что риманово многообразие является локально проективно-эвклидовым.

Для необходимым и достаточным условием того, что многообразие является локально проективно-эвклидовым, будет обращение в нуль так называемого тензора проективной кривизны Вейля

Из условия

следует, что

откуда

Подставляя это выражение в (5.11), мы найдем

Это показывает, что наше многообразие имеет постоянную кривизну.

Обратно, если многообразие является многообразием постоянной кривизны, то его тензор кривизны Римана — Кристоффеля имеет вид (5.12), а тензор Риччи отсюда мы можем легко доказать, что т. е. что рассматриваемое многообразие является локально проективно-эвклидовым. Подставляя выражение

в (3.6), мы найдем, что

Для измерения отклонения от проективно-эвклидовости введем величину

Теперь, если мы допустим, что форма является положительно определенной, и обозначим через наименьшее (положительное) собственное значение матрицы то получим

и, таким образом, для найдем, что

Следовательно, мы имеем из (5.13), что

и получаем следующий вывод;

Теорема 5.3. Если компактном ориентируемом римановом многообразии с положительной кривизной Риччи тполнено

то в этом многообразии не существует отличного от нулевого гармонического тензора валентности следовательно, (Бохнер [5], Яно [4]).

Точно так же, если отрицательно определенная форма и через обозначено наибольшее (отрицательное) собственное значение матрицы то

и из теорем 3.5 и 3.6 мы получим:

Теорема 5.4. Если в компактном римановом многообразии с отрицательной кривизной Риччи выполнено условие

то не существует отличного от нуля (конформного) тензора Киллинга валентности