7. Гармонические векторные поля

Если в кэлеровом многообразии векторное поле (не обязательно самоприсоединенное) гармонично, т. е.

то точно тем же формальным подсчетом, что и в вещественном случае, мы можем показать, что удовлетворяет равенству

Обратно, если в компактном кэлеровом многообразии векторное поле (не обязательно самоприсоединенное) удовлетворяет соотношению (8.66), то оно гармоническое. В самом деле, если мы сделаем формальную замену координат

или

то уравнения (8.66) примут вид

причем здесь величины все вещественные. Таким образом, из уравнений (8.66) вытекает, что вещественная и мнимая часть удовлетворяет уравнениям (8.67) и, следовательно, они обе являются гармоническими векторами. Отсюда следуют соотношения

а также соотношения (8.65) в исходной системе координат, что и требовалось.

Теорема 8.12. Если в компактном кэлеровом многообразии векторное поле (не обязательно самоприсоединенное) гармонично, то векторные поля

и присоединенное векторное поле

являются гармоническими.

Доказательство. Соотношения (8.66) могут быть написаны в виде

что доказывает наше утверждение (8.68). Кроме того, так как являются самоприсоединенными, получаем

что доказывает наше утверждение (8.69).

Теорема 8.13. В компактном кэлеровом многообразии вектор гармоничен тогда и только тогда, когда все -аналитические функции от а вектор гармоничен тогда и только тогда, когда аналитические функции от Вектор гармоничен тогда и только тогда, когда аналитические функции от -аналитические функции от

В самом деле, если вектор гармоничен, то

Для это дает нам

и, таким образом, - аналитические функции от

Обратно, если — аналитические функции от то равенство (8.71) выполняется; из него и из тождества Риччи

следует равенство

или

а это дает нам равенство

Следовательно, вектор гармонический. Аналогично доказывается, что аналитическая зависимость от есть условие гармоничности вектора С. Последнее утверждение теоремы следует из первых двух и теоремы 8.12.