4. Гармонические векторы

Вектор называется гармоническим, если он удовлетворяет условиям

и

Хорошо известно, что в компактном ориентируемом римановом многообразии число линейно независимых (относительно постоянных коэффициентов) гармонических векторов равно одномерному числу Бетти многообразия (Ходж [1]).

Если — гармонический вектор, то он удовлетворяет условию (2.17) и, следовательно, выполняется условие (2.18). Таким образом, как специальный случай теоремы 2.7 мы можем установить:

Теорема 2.9. Если в компактном римановом многообразии для гармонического векторного поля удовлетворено условие

то непременно

и автоматически

В частности, если многообразие имеет всюду положительно определенную кривизну Риччи, то в нем существует только нулевое гармоническое векторное поле, следовательно, это многообразие ориентируемо, то для «его (Бохнер [2], Майерс [1]).