14. Необходимое и достаточное условие того, чтобы вектор был вектором Киллинга

Мы знаем, что если вектор является вектором Киллинга, т. е. если

то

Докажем теперь обратное. Складывая (2.75) и (2.76), находим

что может быть также переписано в виде

Это уравнение показывает, что если вектор удовлетворяет соотношениям (2.78), то

что и требовалась доказать.

Теорема 2.16. Необходимое и достаточное условие для, того, чтобы в компактном ориентируемом римановом многообразии векторное поле было полем векторов Киллинга, заключается в выполнении равенств