10. Фундаментальная формула

В компактном ориентируемом римановом многообразии рассмотрим произвольное векторное поле и образуем новое векторное поле его дивергенция будет

С другой стороны, из тождества Риччи

свертывая по получим

или

Подставив последнее выражение в (2.64), найдем

Далее, образуем векторное поле

его дивергенция имеет вид

Из (2.65) и (2.66) получаем

Интегрируя обе части (2.67) по всему многообразию и применяя теорему 2.4, получаем формулу

которую, заменяя

можем написать также в виде

(Яно [3]). Эта формула, которая верна для любого векторного поля будет неоднократно использована в дальнейшем.