4. Псевдокиллинговы векторы и тензоры

Назовем вектор псевдокиллинговым, если он удовлетворяет условию

Такой вектор, очевидно, удовлетворяет и условию

и поэтому

и мы получаем следующий аналог теоремы 7.9:

Теорема 7.14. Если в компактном метрическом многообразии с кручением матрице

соответствует неположительно определенная квадратичная форма относительно переменных то каждый псевдокиллингов вектор должен удовлетворять условию

Если матрице соответствует отрицательно определенная форма, то не существует отличного от нуля псевдокиллингова вектора.

Назовем антисимметричное тензорное поле

псевдокиллинговым, если оно удовлетворяет условию

или, более подробно,

и автоматически условию

Такой антисимметричный тензор, очевидно, удовлетворяет также и условию

и, следовательно, для

мы имеем

откуда следует

Теорема 7.15. Вторая половина теоремы 7.8 приложима, в частности, псевдокиллинговым тензорам.