Главная > Кривизна и числа Бетти
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава VI. ПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП

1. Пространства полупростых групп

Рассмотрим компактное пространство полупростой группы. Уравнения Маурера-Картана запишем в виде

где структурные константы группы (Эйзенхарт [2]). Положим

Так как для полупростой группы ранг матрицы равен и так как групповое пространство компактно, то квадратичная форма положительно определена. Обозначая через матрицу, обратную матрице мы можем использовать величины для поднятия и опускания индексов Умножая тождество Якоби

на и свертывая по получим

откуда видно, что величины антисимметричны относительно всех индексов Если мы положим

и обозначим через матрицу, обратную матрице то будем иметь

где

И квадратичная дифференциальная форма

положительно определена. Мы вносим эту метрику в наше пространство полупростой группы.

Так как то из (6.1) получим

где мы положили

причем есть тензор, ковариантные компоненты которого антисимметричны относительно всех индексов. Принимая во внимание (6.3) и (6.4), подсчитаем символы Кристоффеля построенные с помощью тензора Непосредственным вычислением находим

Обозначая точкой с запятой ковариантное дифференцирование относительно находим

и, следовательно,

Уравнения (6.10) показывают, что следовательно, векторы определяют параллельные перенесения в нашем пространстве.

Из соотношений (6.8), применяя тождество Якоби, находим

Если теперь мы положим

то из (6.7) и (6.9) получим

откуда

Тензор кривизны, образованный с помощью коэффициентов аффинно рвязности равен нулю, и мы имеем

откуда, используя (6.12) и тождество Якоби, находим

или

Умножая это уравнение на и свертывая по находим

причем здесь использованы соотношения

Таким образом, наше пространство является пространством Эйнштейна с положительной скалярной кривизной.

1
Оглавление
email@scask.ru