Глава VI. ПРОСТРАНСТВА ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП
1. Пространства полупростых групп
Рассмотрим компактное пространство полупростой группы. Уравнения Маурера-Картана запишем в виде
где 
структурные константы группы (Эйзенхарт [2]). Положим
Так как для полупростой группы ранг матрицы 
равен 
и так как групповое пространство компактно, то квадратичная форма 
положительно определена. Обозначая через 
матрицу, обратную матрице 
мы можем использовать величины 
для поднятия и опускания индексов 
Умножая тождество Якоби
на 
и свертывая по 
получим
откуда видно, что величины 
антисимметричны относительно всех индексов 
Если мы положим
и обозначим через матрицу, обратную матрице то будем иметь
где
И квадратичная дифференциальная форма
положительно определена. Мы вносим эту метрику в наше пространство полупростой группы.
Так как 
то из (6.1) получим
где мы положили
причем 
есть тензор, ковариантные компоненты 
которого антисимметричны относительно всех индексов. Принимая во внимание (6.3) и (6.4), подсчитаем символы Кристоффеля 
построенные с помощью тензора 
Непосредственным вычислением находим
Обозначая точкой с запятой ковариантное дифференцирование относительно 
находим
и, следовательно,
Уравнения (6.10) показывают, что 
следовательно, векторы 
определяют параллельные перенесения в нашем пространстве.
Из соотношений (6.8), применяя тождество Якоби, находим
Если теперь мы положим
то из (6.7) и (6.9) получим
откуда
Тензор кривизны, образованный с помощью коэффициентов аффинно рвязности 
равен нулю, и мы имеем
откуда, используя (6.12) и тождество Якоби, находим
или
Умножая это уравнение на 
и свертывая по 
находим
причем здесь использованы соотношения
Таким образом, наше пространство является пространством Эйнштейна с положительной скалярной кривизной.
