(часто обозначаемый 
то для гармонического тензора будем иметь
(см. (3.5)). Мы покажем, что для компактного риманова многообразия справедливо и обратное.
Для скаляра
мы имеем
и потому, интегрируя по всему многообразию, получим
Умножая равенство (3.18) на 
и вычитая полученное из (3.24), находим
что можно также записать в виде
и потому, если 
должно быть
Теорема 3.7. Для того, чтобы в компактном ориентируемом римановом многообразии антисимметричное тензорное поле
было гармоническим, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло соотношению
Для тензора Киллинга аналогом формы 
будет форм
(cp. (3.8)); мы покажем, что на компактном римановом многообразии из условий
и
следует, что тензор 
-киллингов. Действительно, аналогично (3.26) найдем
откуда и следует наше заключение.
Теорема 3.8. Для того, чтобы в компактном ориентируемом римановом многообразии 
антисимметричное тензорное поле было полем тензора Киллинга, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло соотношению 
[4]).
