2. Теорема о кривизне пространства полупростой группы
Докажем следующую теорему:
Теорема 
пространстве полупростой группы с метрическим тензором (6.4) имеет место неравенство
для любого антисимметричного тензора
Для доказательства зафиксируем точку в нашем пространстве. Возьмем такую систему координат, что 
в зафиксированной точке, и будем писать все индексы снизу. Имеем из (6.15)
или
Следовательно, величины 
представляют 
единичных попарно ортогональных векторов в 
-мерном эвклидовом пространстве. Если мы обозначим через 
единичных
векторов, попарно ортогональных и ортогональных также к векторам 
то получим
откуда
и, следовательно,
Таким образом мы доказали тензорное неравенство
в фиксированной точке в специальной системе координат, и, следовательно, оно должно иметь место во всем пространстве (Яно [4])
