6. Аналитические тензоры
Если компоненты 
самоприсоединенного тензора смешанного типа являются комплексно аналитическими функциями координат 
то мы снова имеем
Напишем тождество Риччи:
свернув его с и использовав равенство (8.62), получаем
Если мы положим теперь
то получим
Пользуясь равенством (8.63), находим
где
Отсюда получаем следующее заключение:
Теорема 8.9. Пусть на компактном кэлеровом многообразии комплексно аналитические компоненты
самоприсоединенного тензора смешанного типа удовлетворяют неравенству
тогда имеют место равенства
и
Это утверждение справедливо не только для тензорных полей, удовлетворяющих условию
но также для тех, которые удовлетворяют условию
(Бохнер [11]).
Далее, если в каждой точке многообразия мы обозначим через 
соответственно наибольшее и наименьшее собственное значение матрицы то найдем
и получим следующее утверждение:
Теорема 8.10. Если 
имеют только что указанный смысл и если
то каждое комплексно аналитическое тензорное поле смешанного типа
должно удовлетворять равенству
Если же всюду 
и где-либо имеет место строгое неравенство 
то не существует аналитических тензорных полей смешанного типа
отличных от нуля (Бохнер [11]).
Из этой теоремы вытекает следующее утверждение: Теорема 8.11. Если компактное кэлерово многообразие есть многообразие Эйнштейна
то при 
не существует отличных от нуля аналитических тензорных полей типа
а при 
не существует отличных от нуля аналитических тензорных полей типа
При этом в обоих случаях все аналитические тензорные поля
имеют ковариантные производные, равные нулю.
Также и при 
все аналитические, тензоры имеют ковариантные производные, равные нулю.
