для параллельного перенесения вектора 
вдоль кривой 
с дифференциальными уравнениями геодезических
то увидим, что касательная 
к геодезической переносится параллельно вдоль геодезической.
Так как 
то легко видеть, что длина вектора и угол между двумя векторами являются инвариантами при параллельном перенесении этих векторов.
Если мы хотим перенести параллельно вектор из точки 
в точку 
находящуюся на конечном расстоянии от 
то сначала мы должны выбрать кривую 
соединяющую две точки 
(следовательно, такую, что 
и проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (1.77) при начальных условиях 
Если мы обозначим решение этой системы через 
то 
будет вектором, который получен параллельным перенесением вектора 
из точки 
в точку 
вдоль кривой 
Таким образом, параллелизм зависит от кривой, соединяющей начальную и конечную точки.
Если параллелизм векторов не зависит от кривой, соединяющей начальную и конечную точки, то в каждой точке многообразия мы имеем один и только один вектор 
параллельный данному вектору 
в точке 
и дифференциальные уравнения
будут удовлетворены для любой кривой. Следовательно, имеем
откуда в силу (1.43) получим
Таким образом, если параллелизм любого вектора не зависит от кривой, вдоль которой вектор переносится, то написанные выше Уравнения должны удовлетворяться для любых 
и мы должны иметь
Следовательно, многообразие доджно быть локально эвклидовым,
и 
его значение в бесконечно близкой точке 
то, как мы знаем, величины
то говорят, что вектор 
в точке 
и вектор 
в точке 
параллельны между собой или что вектор 
в точке 
получен из вектора 
в точке 
параллельным перенесением. Это определение инвариантно относительно замены координат. Аналогичное определение применимо к любому тензору.
