6. Необходимые и достаточные условия того, что тензор является псевдогармоническим или псевдокиллинговым

При тех же предположениях, что и в предыдущем разделе, мы имеем для всякого векторного поля

или

и, следовательно,

Таким образом, если вектор удовлетворяет условию

то

что показывает, что вектор должен быть псевдогармоническим. Обратно, если вектор псевдогармонический, то условия (7.49) выполняются в силу (7.24). Таким образом, мы имеем:

Теорема 7.16. В компактном ориентируемом метрическом многообразии с кручением, в котором условие (7.49) является необходимым и достаточным для того, чтобы вектор был псевдогармоническим. Аналогично найдем, что

Следовательно, если вектор удовлетворяет условиям

и

то он удовлетворяет также и условию

Теорема 7.17. В компактном ориентируемом многообразие с кручением, в котором условия (7.51) и (7.52) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы вектор псевдокиллинговым.

Обобщая теоремы 7.16 и 7.17, можно доказать следующую теорему:

Теорема 7.18. В компактном ориентируемом метрической многообразии, тензор кручения которого удовлетворяет условию антисимметричный тензор

является псевдогармоническим в том и только в том случае, если выполнено условие

и является псевдокиллинговым в том и только в том случае, если выполнены условия

и