4. Комплексное погружение

В комплексной окрестности мы рассмотрим ковариантных аналитических векторных полей

и примем следующие два допущения. Во-первых, для каждого из векторов должен быть равен нулю вихрь, т. е.

и, во вторых, матрица

из строк и столбцов должна всюду иметь максимальный ранг Если мы теперь положим

то, по второму предположению, матрица будет положительно определенной, и по условию (9.12), которое имеет определящее

значение, она будет обладать кэлеровым свойством. Метрика

введена из следующих соображений. Условие (9.12) является в окрестности точки необходимым и достаточным для существования аналитических функций

таких, что

Если мы интерпретируем равенства (9.16) как отображение нашей окрестности в многообразие переменных то в силу нашего второго допущения это отображение будет невырожденным и метрика (9.15) будет индуцироваться плоской кэлеровой метрикой

объемлющего многообразия.

Существенной особенностью метрики (9.15) является то, что тензор Риччи имеет для нее вид

(Бохнер [2]), где точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование по отношению к вновь введенной метрике (9.15). Теперь из (9.19) вытекает равенство

и потому мы имеем

где равенство будет иметь место только в случае выполнения условия

Отсюда следует

Теорема 9.6. Если компактное кэлерово многообразие таково, что его метрический тензор может быть получен в окрестности каждой точки посредством аналитического погружения в плоское кэлерово многообразие, то кривизна Риччи не положительна и потому не существует контравариантных аналитических векторов и тензоров

за исключением имеющих нулевую ковариантную производную, и у например, ненулевой вектор должен удовлетворять всем уравнениям (9.21) для любых

Таким образом, в частности, если компактное комплексное многообразие может быть погружено аналитически локально взаимнооднозначно в комплексный тор некоторой размерности, то на многообразии всякий аналитический тензор

определяется его заданием в любой точке и представляет собой параллельное поле в индуцированной метрике многообразия.

Как известно, кривизна Риччи остается не положительной при более общем, чем в теореме, предположении, что заданный метрический тензор таков, что в окрестности любой точки соответствующая кривизна Риччи является пределом, в смысле равномерной сходимости, выражений вида (9.19). Теория автоморфных функций одной или нескольких переменных изобилует метриками такого рода. Так, в единичном круге классическая гиперболическая метрика

постоянной отрицательной кривизны является подобным пределом, но можно доказать, что она не может быть непосредственно получена погружением в конечномерную плоскую кэлерову метрику. Это же верно и для ее многомерного обобщения

в единичной сфере.

и для многих других пространств, из которых мы упомянем только гиперболическое матричное пространство, являющееся обобщением вышеприведенного. Оно возникает, если вместо переменных взять произвольную прямоугольную матрицу

составленную из независимых комплексных переменных в общем числе Единичная сфера заменяется тогда множеством точек, которое характеризуется требованием, чтобы все собственные значения квадратной матрицы

были по абсолютной величине меньше единицы, т. е. тем, чтобы для любых комплексных чисел мы имели неравенство

Соответствующий линейный элемент будет тогда задаваться формулой

где матрица, присоединенная к матрице (9.24), а единичные матрицы порядков тип соответственно.