5. Самоприсоединенные векторы, удовлетворяющие соотношениям ...

Рассмотрим (самоприсоединенное) векторное поле, которое в окрестности каждой точки представимо в виде

Это не локально градиентное поле в собственном смысле слова, если только не имеет место т. е. если не вещественна. В наших приложениях вещественность как раз не будет иметь места. Введем ассоциированный вектор

Векторы и имеют следующие свойства:

Далее, для получаем

где

Если мы подставим

то найдем, что

Аналогично, если положим

то получим

Введем, наконец, предположение

что означает

Это повлечет за собой равенство

Если теперь поменяем местами переменные то получим следующую теорему:

Теорема 8.8. Если на компактном кэлеровом многообразии с положительной кривизной Риччи самоприсоединенное векторное поле обладает тем свойством, что в окрестности каждой точки компоненты представимы в виде

то , т. е. есть комплексно аналитическая функция.

Если кривизна Риччи только не отрицательна, то Это значит, производные не обязательно обращаются в нуль, но их ковариантные производные непременно равны нулю (Бохнер [2]).