10. Поля тензоров Киллинга
На компактном кэлеровом многообразии антисимметричный тензор
есть тензор Киллинга тогда и только тогда, когда 
и
Прежде всего из этого вытекает
Теорема 8.20. Тензор 
присоединенный к тензору
Киллинга 
также является тензором Киллинга.
Теперь мы заменим условие (8.81) более жестким требованием
Если мы введем чистый тензор типа 
то прежде всего получим следующий результат:
Теорема 8.21. Если на компактном кэлеровом многообразии антисимметричное тензорное поле есть поле тензора
Киллинга и, кроме того, удовлетворяет условию (8.82), то каждый чистый тензор (8.83) типа 
полученный из есть тензор Киллинга.
Сходным образом, как аналог теоремы 8.17, мы получим следующую теорему:
Теорема 8.22. Если для тензора
выполняется условие
то
1) Этот тензор есть тензор Киллинга тогда и только тогда, когда чистый тензор типа 
и чистый тензор типа 
оба являются тензорами Киллинга.
2) Если чистые тензоры типов 
и 
тензоры Киллинга, то их ковариантные компоненты — комплексно аналитические функции от переменных 
соответственно.
3) Если упомянутый в условии тензор есть тензор Киллинга, то поле этого тензора есть параллельное поле, т. е.
4) Если этот тензор есть тензор Киллинга, то его первые контравариантные компоненты — аналитические функции от 
а последние — от 
