6. Характеристика Эйлера — Пуанкаре
Старейшая известная связь между кривизной и числами Бетти — теорема Гаусса-Бонне. Ее дальнейшее развитие шло по путям несколько отличным от тех, которым мы следуем в этой книге, но тем не менее имеются некоторые точки соприкосновения, и мы приведем сначала один результат в духе нашего раздела 4; по поводу доказательства сошлемся на работу Бохнера [7].
Теорема 9.10. Если на компактном кэлеровом многообразии метрический тензор может в окрестности каждой точки быть представлен в виде
где 
и векторы 
имеют исчезающий вихрь,
а ранг матрицы
равен 
то характеристика Эйлера — Пуанкаре имеет знак 
или равна нулю.
Это утверждение сохраняет силу, если, в более общем случае, метрический тензор 
является в окрестности каждой точки пределом, в смысле равномерной сходимости, тензоров 
каждый из которых имеет указанный вид, причем первые и вторые производные 
также равномерно сходятся к соответствующим производным 
Далее, если метрический тензор имеет в точности вид 
для одной и той же системы векторов 
на всем многообразии, то для равенства характеристики нулю необходимо и достаточно, чтобы суммы
были равны нулю при всех значениях 
здесь
- известные символы Кронекера
