6. Характеристика Эйлера — Пуанкаре

Старейшая известная связь между кривизной и числами Бетти — теорема Гаусса-Бонне. Ее дальнейшее развитие шло по путям несколько отличным от тех, которым мы следуем в этой книге, но тем не менее имеются некоторые точки соприкосновения, и мы приведем сначала один результат в духе нашего раздела 4; по поводу доказательства сошлемся на работу Бохнера [7].

Теорема 9.10. Если на компактном кэлеровом многообразии метрический тензор может в окрестности каждой точки быть представлен в виде

где и векторы имеют исчезающий вихрь,

а ранг матрицы

равен то характеристика Эйлера — Пуанкаре имеет знак или равна нулю.

Это утверждение сохраняет силу, если, в более общем случае, метрический тензор является в окрестности каждой точки пределом, в смысле равномерной сходимости, тензоров каждый из которых имеет указанный вид, причем первые и вторые производные также равномерно сходятся к соответствующим производным

Далее, если метрический тензор имеет в точности вид для одной и той же системы векторов на всем многообразии, то для равенства характеристики нулю необходимо и достаточно, чтобы суммы

были равны нулю при всех значениях здесь

- известные символы Кронекера