Глава IV. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРЫ КИЛЛИНГА НА ПЛОСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ

1. Гармонические тензоры и тензоры Киллинга на многообразии постоянной кривизны

Так как на таком многообразии

и

то наша форма (3.6) принимает вид

и мы получим отсюда следующие выводы.

В компактном римановом многообразии положительной постоянной кривизны не существует гармонического тензора

отличного от нулевого, и, следовательно, на ориентируемом многообразии для

Особо существенно, что если постоянная кривизна пространства отрицательна (гиперболическое пространство), то не существует отличного от нуля тензора Киллинга порядка

И если (компактное плоское многообразие), то существуют независимых гармонических тензоров и тензоров Киллинга.

Последнее утверждение следует из того, что в таком пространстве можно выбрать систему координат, в которой

так что из условия следует, что