5. Кривизна в двумерном направлении

В двумерном римановом многообразии, фундаментальная квадратичная форма которого имеет вид

единственные ненулевые компоненты тензора Римана — Кристоффеля будут

Гауссова кривизна К этого многообразия определяется формулой

Рассмотрим теперь в точке -мерного риманова многообразия два контравариантных вектора Эти два вектора определяют двумерную плоскость, проходящую через точку Рассмотрим далее все геодезические, которые проходят через эту точку и касаются двумерной плоскости, натянутой на векторы Эти геодезические образуют двумерную поверхность, которая проходит через точку и касается двумерной плоскости, натянутой на векторы

В силу (1.62) гауссова кривизна К этой поверхности в точке будет равна

или

Эта величина называется кривизной в двумерном направлении, исхрч дящеад из точки натянутом на векторы

Если в качестве векторов и мы выберем два единичных взаимно ортогональных вектора, то равенство (1.63) примет вид

Предположим теперь, что в фиксированной точке нашего риманова многообразия кривизна в двумерном направлении не зависит от этого направления. Тогда, как мы можем видеть из (1.63), тензор кривизны должен иметь вид

а тензор

Если в любой точке многообразия кривизна в двумерном направлении не зависит от направления, проходящего через эту точку, то уравнения (1.65) и (1.66) должны выполняться в каждой точке многообразия и кривизна К оказывается, таким образом, функцией точки.

Из (1.66), свертывая по получаем

откуда, умножая на и свертывая, находим

Далее, уравнение (1.67) может быть переписано также в виде

если мы подставим это выражение в (1.61), то получим

откуда видно, что для 2 производная следовательно, и к являются абсолютными константами.

Итак, если кривизна в двумерном направлении в каждой точке многообразия не зависит от двумерного направления, проходящего через точку, то эта кривизна является абсолютной константой во всем многообразии. Такое риманово многообразие называется многообразием постоянной кривизны.

Если эта постоянная равна нулю, то

В этом случае уравнения

получающиеся из (1.22) при являются вполне интегрируемыми. Следовательно, существует система координат, в которой стало быть, Таким образом, всякая координатная окрестность многообразия нулевой кривизны может быть изометрично отображена в некоторую область эвклидова пространства.

Наоборот, если всякая координатная окрестность многообразия может быть изометрично отображена в некоторую область эвклидова пространства, то, очевидно, будет иметь место условие (1.69).

Говорят, что такое риманово многообразие является локально эвклидовым или локально плоским.

Возвращаясь к общему риманову многообразию, рассмотрим в точке этого многообразия контравариантных взаимно ортогональных единичных векторов

Для этих векторов мы имеем

и, следовательно,

Кривизна в двумерном направлении, исходящем из этой точки и определенном двумерной плоскостью, натянутой на векторы будет равна

Следовательно,

или

и

Формула (1.71) показывает, что если мы возьмем единичный контравариантный вектор X и рассмотрим кривизн в двумерных направлениях, определенных двумерными плоскостями, натянутыми на вектор и каждый из единичных векторов, ортогональных к и друг к другу, то сумма этих кривизн будет равна и не зависит от выбора остальных

ортогональных единичных векторов. Величину называют кривизной Риччи в направлении единичного вектора

Уравнение (1.72) показывает, что сумма кривизн Риччи в направлении взаимно ортогональных единичных векторов равна и не зависит от выбора этих векторов.

Рассмотрим далее кривизну Риччи в направлении некоторого контравариантного вектора

Направление, дающее экстремум величины определится равенствами

вообще говоря, существуют таких взаимно ортогональных направлений. Эти направления называют направлениями Риччи.

Многообразие, для которого направления Риччи неопределенны, называется многообразием Эйнштейна. Для такого многообразия имеем

Умножая последнее уравнение на и свертывая, получим

откуда

Легко видеть из (1.61), что является абсолютной константой.