Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5. Кривизна в двумерном направленииВ двумерном римановом многообразии, фундаментальная квадратичная форма которого имеет вид
единственные ненулевые компоненты тензора Римана — Кристоффеля
Гауссова кривизна К этого многообразия определяется формулой
Рассмотрим теперь в точке В силу (1.62) гауссова кривизна К этой поверхности в точке
или
Эта величина называется кривизной в двумерном направлении, исхрч дящеад из точки Если в качестве векторов и мы выберем два единичных взаимно ортогональных вектора, то равенство (1.63) примет вид
Предположим теперь, что в фиксированной точке нашего риманова многообразия кривизна в двумерном направлении не зависит от этого направления. Тогда, как мы можем видеть из (1.63), тензор кривизны
а тензор
Если в любой точке многообразия кривизна в двумерном направлении не зависит от направления, проходящего через эту точку, то уравнения (1.65) и (1.66) должны выполняться в каждой точке многообразия и кривизна К оказывается, таким образом, функцией точки. Из (1.66), свертывая по
откуда, умножая на
Далее, уравнение (1.67) может быть переписано также в виде
если мы подставим это выражение в (1.61), то получим
откуда видно, что для 2 производная Итак, если кривизна в двумерном направлении в каждой точке многообразия не зависит от двумерного направления, проходящего через точку, то эта кривизна является абсолютной константой во всем многообразии. Такое риманово многообразие называется многообразием постоянной кривизны. Если эта постоянная равна нулю, то
В этом случае уравнения
получающиеся из (1.22) при Наоборот, если всякая координатная окрестность многообразия может быть изометрично отображена в некоторую область эвклидова пространства, то, очевидно, будет иметь место условие (1.69). Говорят, что такое риманово многообразие является локально эвклидовым или локально плоским. Возвращаясь к общему риманову многообразию, рассмотрим в точке
Для этих векторов мы имеем
и, следовательно,
Кривизна в двумерном направлении, исходящем из этой точки и определенном двумерной плоскостью, натянутой на векторы будет равна
Следовательно,
или
и
Формула (1.71) показывает, что если мы возьмем единичный контравариантный вектор X и рассмотрим ортогональных единичных векторов. Величину Уравнение (1.72) показывает, что сумма Рассмотрим далее кривизну Риччи
Направление, дающее экстремум величины
вообще говоря, существуют Многообразие, для которого направления Риччи неопределенны, называется многообразием Эйнштейна. Для такого многообразия имеем
Умножая последнее уравнение на
откуда
Легко видеть из (1.61), что
|
1 |
Оглавление
|