Глава I. РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ

1. Римановы многообразия

Рассмотрим хаусдорфово пространство с заданной системой окрестностей таких, что каждая окрестность может быть поставлена во взаимно-однозначное непрерывное соответствие с внутренностью гиперсферы

в -мерном эвклидовом пространстве. Такое пространство будем называть -мерным многообразием. Здесь и в дальнейшем латинские индексы будут пробегать значения

Это соответствие между точками некоторой окрестности многообразия и точками внутри гиперсферы называется системой координат. Координаты точки в эвклидовом пространстве, которая соответствует точке многообразия, называются координатами точки в этой системе координат. Окрестность, снабженная системой координат, называется координатной окрестностью. Если в окрестности заданы две системы координат

то существует взаимно-однозначное непрерывное соответствие между этими двумя системами координат, которое может быть выражено уравнениями

или обратно:

Уравнения (1.1) или (1.2) определяют так называемое преобразование координат.

Если функции класса то есть если они допускают непрерывные частные производные первого, второго, порядка, и если при 1 якобианы

отличны от нуля для любого преобразования координат в данном многообразии, то мы говорим, что многообразие является многообразием класса

Очевидно, что если мы имеем в -мерном многообразии класса функции удовлетворяющие упомянутым условиям, где является начальной системой координат в окрестности то, полагая

мы можем ввести в качестве новой системы координат в Мы будем называть такую систему координат допустимой системой координат в

Если многообразие может быть полностью покрыто конечным числом окрестностей то говорят, что многообразие компактно. Как правило, наши многообразия будут компактны.

Иногда мы будем также предполагать ориентируемость многообразия. Если две допустимые системы координат в координатной окрестности то якобиан

отличен от нуля всюду в координатной окрестности следовательно, будучи непрерывной функцией точки в имеет один и тот же знак всюду в Если этот знак положителен, мы говорим, что эти координатные системы одинаково ориентированы, если знак отрицателен, то они противоположно ориентированы.

Если существует подмножество множества всех допустимых координатных окрестностей, покрывающее все многообразие, и если любые координатные системы, принадлежащие этому подмножеству и действующие в одной и той же окрестности многообразия, всегда одинаково ориентированы, то говорят, что многообразие ориентируемо.

Предположим теперь, что с каждой координатной окрестностью в нашем -мерном многообразии класса связана положительно определенная квадратичная дифференциальная форма от дифференциалов

которая не зависит от выбора системы координат и коэффициенты которой являются функциями класса от координат В формуле (1.3) по повторяющимся внизу и вверху индексам производится суммирование.

Геометрически форма (1.3) интерпретируется как квадрат бесконечно малого расстояния между точками Тогда длина дуги кривой Дается интегралом

Форму (1.3) мы будем называть фундаментальной метрической формой многообразия.

-мерное многообразие класса в котором задана фундаментальная метрическая форма (1.3), называется -мерным римановым многообразием класса Теория таких многообразий называется римановой геометрией (Эйзенхарт [1]),