3. Тензорный анализ

Рассмотрим кривую соединяющую две точки и найдем ее длину

Рассмотрим другую кривую бесконечно мало), которая проходит через (следовательно и является бесконечно близкой к Первая вариация интеграла определяется следующим образом:

где положено

Мы назовем кривую, для которой при любых геодезической нашего риманова многообразия.

Вдоль геодезической должны удовлетворяться так называемые дифференциальные уравнения Эйлера

Можно показать, что величины являются ковариантными компонентами вектора.

Возьмем в качестве параметра вдоль геодезической длину дуги и подсчитаем контравариантные компоненты вектора в результате получим

где коэффициенты определяются формулой

и называются символами Кристоффеля.

Легко проверить, что символы Кристоффеля удовлетворяют следующим тождествам:

Теперь, исходя из того, что в (1.16) являются контравариантными компонентами вектора, мы можем найти следующий закон преобразования символов Кристоффеля при преобразовании координат:

Если есть компонента скалярного поля, то очевидно, что есть также компонента скаляра, являются компонентами ковариантного вектора. Мы называем ковариантным дифференциалом скаляра ковариантной производной скаляра и обозначаем их соответственно

Если являются компонентами контравариантного векторного поля, то не обязательно являются компонентами контравариантного вектора. Но, комбинируя закон преобразования с законом преобразования для мы можем доказать, что

являются компонентами контравариантного вектора и

являются компонентами смешанного тензора. Мы называем ковариантным дифференциалом ковариантной производной

Аналогично, если являются компонентами ковариантного векторного поля, то не обязательно являются компонентами

ковариантного вектора, но мы можем доказать, что

являются компонентами ковариантного вектора и

являются компонентами ковариантного тензора. Мы называем ковариантным дифференциалом ковариантной производной

Эта операция ковариантного дифференцирования может быть определена для любого тензора, скажем, для

Тензор который имеет тот же тип, что и тензор называется ковариантным дифференциалом тензора Тензор имеет на один ковариантный индекс больше, чем тензор и называется ковариантной производной тензора

Если мы применим операцию ковариантного дифференцирования к тензорам и , то получим

Таким образом, тензоры постоянны относительно ковариантного дифференцирования.

Легко проверить, что ковариантное дифференцирование подчиняется правилам обычного дифференцирования:

и

Если задано ковариантное векторное поле то можно образовать антисимметричный тензор

который не зависит от символов Кристоффеля. Он называется вихрем ковариантного вектора

Аналогично, если задано антисимметричное тензорное поле можно образовать антисимметричный тензор

который не зависит от символов Кристоффеля. Он называется вихрем антисимметричного ковариантного тензора

Если задано контравариантное векторное поле то можно образовать скаляр

который зависит только от Этот скаляр называется дивергенцией контравариантного вектора

Дивергенция ковариантного вектора определяется как скаляр

а дивергенция ковариантного тензора тензор

Если мы имеем скалярное поле то мы можем образовать градиент и вычислить квадрат его длины

Эта величина называется дифференциальным параметром Бельтрами первого рода скалярного поля

Мы можем далее вычислить дивергенцию градиента

Эта величина называется дифференциальным параметром Бельтрами второго рода скалярного поля Она называется также лапласианом от и обозначается