3. Некоторые приложения теоремы Хопфа — Бохнера

В этом параграфе мы предполагаем, что рассматриваемое многообразие является многообразием класса а функции принадлежат классу

Рассмотрим векторное поле класса и положим

Лапласиан этой функции будет равен

где обозначено

Выражение

есть положительно определенная форма от Поэтому если удовлетворяет уравнениям вида

и, кроме того, квадратичная форма удовлетворяет условию

то будет выполняться неравенство

Следовательно, из теоремы 2.3 мы получим

или

и также Если квадратичная форма является положительно определенной, то мы можем из равенства заключить, что

Итак, мы имеем:

Теорема 2.6. Если в компактном римановом многообразии векторное поле удовлетворяет условиям

и

то непременно

и автоматически

Таким образом, условиям теоремы удовлетворяют только параллельное векторные поля, а в случае положительной определенности квадратичной формы — только нулевые век торные поля (Вохнер [10]).

Рассмотрим снова произвольное векторное поле класса и запишем тождество Риччи:

Отсюда получим

и, умножая это равенство на и свертывая, найдем

Таким образом, если векторное поле удовлетворяет условию

то оно удовлетворяет и условию

и в силу теоремы 2.6 мы имеем;

Теорема 2.7. Если в компактном римановом многообразии векторное поле удовлетворяет условию (2.17) и

то непременно

автоматически

В частности, многообразие всюду имеет положительно определенную кривизну Риччи, то ятсш многообразии только нулевое векторное поле удовлетворяет условию (2.17).

Далее, возьмем снова произвольное векторное поле класса и запишем тождество Риччи

из которого получим

или, умножив на и свернув,

Таким образом, если векторное поле удовлетворяет условию

то оно удовлетворяет и условию

и, следовательно, из теоремы 2.6 мы имеем:

Теорема 2.8. Если в компактном римановом многообразии векторное поле удовлетворяет условию (2.19) и

то непременно

и автоматически

В частности, если многообразие всюду имеет отрицательно определенную кривизну Риччи, то в этом многообразии только нулевое векторное поле удовлетворяет условию (2.19).