Глава 2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ

§ 2.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ

Критерии устойчивости.

Понятие устойчивости замкнутых автоматических систем было рассмотрено в § 1.3. Там же было показано, что устойчивой является та автоматическая система, у которой все корни характеристического уравнения (1.12), соответствующего дифференциальному уравнению (1.7) этой системы, имеют отрицательные вещественные части.

Если корни характеристического уравнения изобразить в виде точек на комплексной плоскости, как показано на рис. 2.1, где на оси абсцисс откладывают значение вещественной части корня, а на оси ординат — значение мнимой части, то устойчивая система может быть определена как система, все корни характеристического уравнения которой лежат в левой полуплоскости (т. е. имеют отрицательные вещественные части). Таким образом, исследование устойчивости замкнутой автоматической системы связано с необходимостью решения алгебраического уравнения, степень которого определяется порядком дифференциального уравнения системы.

Рис. 2.1

Однако выражения для корней алгебраического уравнения являются достаточно простыми лишь для уравнений не выше второй степени. Для уравнения третьей или четвертой степени они в силу их сложности практически не пригодны для анализа устойчивости автоматической системы, а корни уравнения выше четвертой степени в общем виде получены быть не могут. В связи с этим были разработаны критерии (признаки) устойчивости, позволяющие судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления корней. Кроме того, указанные критерии позволяют не только ответить на вопрос, устойчива система или нет, но, что гораздо важнее, и осуществить выбор некоторых параметров системы, обеспечивающий ее устойчивость, т. е. решить в какой-то мере задачу синтеза.

Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (1.12) (при положительном коэффициенте при старшей степени). Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но может быть и неустойчивой. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.

Ограничиваясь для простоты случаем отрицательных вещественных корней, представим левую часть алгебраического уравнения (1.12) в

где корни этого уравнения,

Раскрыв скобки и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной в левой и правой частях равенства (2.1), убеждаемся, что при отрицательных корнях характеристического уравнения (1.12) все коэффициенты этого уравнения положительны (при

3 Заметим, что для уравнении первого и второго порядков полученное условие устойчивости является не только необходимым, но и достаточным, в чем нетрудно убедиться прямым вычислением корней уравнения.