Прохождение случайных процессов через разомкнутые линейные цепи.

Элементы радиоавтоматических устройств подразделяют на нелинейные неинерционные и линейные инерционные. Ранее были даны соответствующие определения и указаны их основные свойства, которыми теперь и воспользуемся. Известно [5], что любое линейкое инерционное звено или система полностью вписываются передаточной функцией и функцией веса связанными между собой преобразованием Лапласа:

Пусть имеется разомкнутое звено, описываемое указанными характеристиками, на входе которого действует случайный процесс с корреляционной функцией (рис. 3.4).

На основании известной формулы свертки (интеграл Дюамеля) выходной сигнал

Рис. 3.4

Для математического ожидания случайного выходного процесса используя возможность перестановки нахождения среднего и интегрирования, получим

Для определения корреляционной функции выходного процесса найдем центрированное значение выходного процесса, положив

Для корреляционной функции из (3.18) получаем

где определяется для входного случайного процесса

Дисперсия выходного процесса получается из формулы (3.19) при

Предположим, что случайный процесс на входе является стационарным, т. е. его корреляционная функция зависит только от сдвига Однако за счет конечной полосы пропускания любого звена процесс на выходе вначале будет нестационарным, а его корреляционная функция и дисперсия могут быть определены с учетом общих выражений (3.19) и (3.20) по формулам

Если в и рассматриваемое звено (или система) устойчиво, то и стремятся к некоторым пределам:

Для нахождения указанных статистических характеристик установившегося стационарного процесса на выходе системы можно воспользоваться и спектральной плотностью входного процесса

Между спектральной плотностью процесса на выходе линейного звена с передаточной функцией и входной спектральной плотностью имеется зависимость [3, 5]

Для нахождения дисперсии выходного случайного процесс необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плотность, определяемую по формуле (3.23):

В частном случае, когда физические размерности входной ивыходной величин одинаковы, а входной процесс прёдавляет собой белый шум дисперсия выходного процесса

где эквивалентная полоса пропускания белого шума, определяемая как интеграл в бесконечных пределах от квадрата модуля частотной передаточной функции.

При вычислениях интеграла (3.24) обычно приходится иметь дело подынтегральным выражением вида где некоторые полиномы комплексной переменной . Учитывая, что в реальной системе при наивысшей степени полинома знаменателя степень полинома числителя не должна превосходить для удобства интегрирования представим это выражение в виде

В приложении 1 вычислены интегралы этого типа до значений

Рассмотрим несколько примеров прохождения случайных процессов через типовые линейные звенья.

1. Дифференцирующее звено. Для определения корреляционной функции процесса на выходе дифференцирующего звена необходимо вначале ввести понятие производной случайной функции [8]. Производная случайной функции

В (3.26) под пределом понимают предел уже не случайной функции, а дисперсии

Для дифференцируемости случайной функции необходимо чтобы она была непрерывной в среднеквадратическом значении:

Однако не все случайные процессы, непрерывные в среднеквадратическом значении (3.27), имеют производные, т.е. дифференцируемы. Заметим, что достаточным условием дифференцируемости стохастического процесса является ограниченность второй производной от корреляционной функции. Для стационарных процессов это условие состоит в выполнении неравенства при любом из которого вытекает другое условие дифференцируемости

Найдем среднее значение производной от случайного процесса. Учитывая определение (3.26), для имеем

т. е. математическое ожидание производной процесса равно производной его математического ожидания.

2. Интегрирующее звено. Интеграл от случайной функции определяют, как и производную в среднеквадратическом значении. Итак,

Представляя интеграл (3.28) как предел суммы, получим

т. е. действия интегрирования и нахождения математического ожидания можно переставлять, что было использовано ранее [см., например, (3.25) и (3.27)].

При прохождении через линейные звенья и цепи изменяются законы распределения случайных процессов. Исключение составляет нормальный процесс, который на выходе любой линейной цепи сохраняет свое распределение, а изменяется лишь его корреляционная функция.

При поступлении случайного сигнала на идеальное дифференцирующее устройство (3.26) с передаточной функцией спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на

при двойном дифференцировании — на

При поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено (3.28) с передаточной функцией спектральная плотность выходной величины (интеграла от входной величины) может быть получена делением спектральной плотности входной величины на

при двойном интегрировании — на

Рассмотрим вопрос о взаимной корреляции процессов на выходах двух линейных систем, когда на их входах действует один и тот же случайный процесс со спектральной плотностью

Пусть процессы на выходах этих систем, а их функции веса: Тогда в соответствии с (3.16)

Взаимная корреляционная функция этих процессов по (3.19)

Для линейных систем с постоянными параметрами и стационарного в широком смысле случайного входного процесса последняя формула переходит в (3.21).

Используя это соотношение и введенное ранее понятие взаимной спектральной плотности получим

Заменой на удается разделить переменные интегрирования и получить

где передаточные функции соответствующих линейных систем.

Если линейные системы одинаковы, то переходит в (3.23).