Узкополосные случайные процессы.

Случайный процесс с непрерывным энергетическим спектром называют узкополосным, если его энергетический спектр сосредоточен в относительно узкой полосе частот около некоторой частоты Условие узкополосности математически может быть выражено неравенством где центральная частота спектральной плотности мощности.

При некоторых весьма общих предположениях [8] можно по заданному случайному стационарному процессу образовать с помощью преобразования Гильберта новый сопряженный стационарный случайный процесс

Тогда случайный процесс и ему сопряженный процесс удобно представить в виде

Можно показать [8], что взаимная корреляционная функция случайного процесса и сопряженного ему процесса

где энергетический спектр процесса

Взаимный энергетический спектр процессов определяется соотношением

Энергетические спектры исходного и сопряженного случайных процессов совпадают друг с другом, ибо они по определению имеют одинаковые амплитудные составляющие, фазы которых сдвинуты на а энергетический спектр не зависит от фаз.

Из последнего выражения следует, что при эти случайные процессы некоррелированы, а если они являются гауссовыми процессами, то эти процессы независимы.

Особый интерес представляют так называемые узкополосные случайные процессы.

Рассмотрим выражение для корреляционной функции узкополосного стационарного (по крайней мере, в широком смысле) случайного процесса

Введем новую переменную где -центральная частота спектральной плотности мощности исходного случайного процесса Тогда

Введем обозначения

Из последней формулы находим

где

Так как энергетический спектр расположен в низкочастотной области, что вытекает из условия узкополосности исходного случайного процесса, то будут медленно меняющимися функциями Если можно считать симметричной относительно центральной частоты то

Следовательно, корреляционная функция узкополосного процесса, энергетический спектр которого расположен симметрично относительно высокой частоты равна умноженной на корреляционной функции соответствующей спектру, полученному из исходного смещением на в область низких частот.

Из выражения (3.10) вытекает справедливость равенств

где огибающая и фаза исходного случайного процесса Введем обозначение подставив его в (3.10), получим

где

Отсюда

Иногда вводят понятие комплексной огибающей узкополосного случайного процесса

где

Из (3.10) также следует

Обозначим корреляционные и взаимно корреляционные функции введенных случайных процессов и Тогда из (3.11) следует

С учетом (3.12) определяем

Выражая корреляционную функцию процесса через энергетический спектр из (3.12) имеем

Для узкополосного процесса

Из формулы (3.13) следует, что дисперсии введенных в рассмотрение случайных процессов и одинаковы и равны дисперсии исходного процесса т. е.

Соотношение (3.14) показывает, что для узкополосного исходного случайного процесса корреляционные функции случайных -цессов медленно меняющиеся функции по сравнению с Принимая во внимание (3.10), находим, что корреляционные функции огибающей и фазы также являются медленно меняющимися по сравнению с а их энергетические спектры сосредоточены в низкочастотной области. Отсюда следует, что узкополосный процесс носит характер высокочастотного колебания частоты и медленно меняющихся огибающей и фазы.

Для взаимных корреляционных функций процессов и из (3.12) имеем

Для узкополосного процесса, принимая во внимание (3.15), находим

Из формулы (3.15) вытекает, что при в совпадающие моменты времени, случайные процессы и всегда некоррелированы, а если и гауссовы процессы, то они еще и независимы между собой.