Глава 7. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОАВТОМАТИКИ

§ 7.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

Импульсные, цифровые и дискретные системы. Функционирование многих систем радиоавтоматики связано с квантованием информации во времени, которое происходит либо на входе системы, либо внутри ее контура. Например, в РЛС с импульсным излучением информация о задающих воздействиях систем АСД и АСН поступает лишь в моменты приема отраженных от цели радиоимпульсов. При работе РЛС в режиме обзора квантование информации во времени происходит за счет вращения антенны, в диаграмму направленности которой периодически попадают те или иные объекты. Иногда контур системы радиоавтоматики замыкается через линию связи с временным разделением каналов, что также приводит к импульсному режиму работы. Все подобные системы называют импульсными системами радиоавтоматики или в общем случае импульсными системами автоматического управления. Для их исследования требуются специальные методы, отличные от развитых применительно к непрерывным автоматическим системам. Исключение составляют лишь импульсные системы, в которых частота квантования существенно превышает ширину полосы пропускания непрерывной части. Они называются квазинепрерывными и могут быть исследованы теми же методами, что и непрерывные системы.

Еще более отличаются от непрерывных цифровые системы, содержащие в своем контуре цифровое устройство обработки информации — ЦВМ или специализированный цифровой вычислитель. В цифровых системах информация квантуется не только во времени, но и по уровню. Это объясняется заменой непрерывного сигнала цифровым кодом определенной длины, происходящей во входном аналого-цифровом преобразователе (АЦП), а также эффектами округления в выходном цифро-аналоговом преобразователе (ЦАП) и в самой ЦВМ.

И импульсные, и цифровые системы принадлежат более широкому классу дискретных систем автоматического управления. Понятие

дискретной системы допускает возможнэсть квантования сигналов во времени и (или) по уровню.

Если в цифровой системе радиоавтомагики АЦП, ЦАП и ЦВМ имеют достаточно большое число разрядов, то при исследовании такую систему можно линеаризовать, а погрешности от квантования по уровню учесть добавлением в сигнал шумов квантования с определенными статистическими характеристиками.

Методы исследования линеаризованных цифровых и линейных импульсных систем имеют много общего. В обоих случаях используются понятия идеального импульсного элемента, приведенной непрерывной части, решетчатой функции и импульсного фильтра. Введем эти понятия при рассмотрении упрощенной схемы импульсной системы, изображенной на рис. 7.1, а, где импульсный элемент, непрерывная часть. Возмущающее воздействие на схеме не показано.

Рис. 7.1

Импульсный элемент преобразует непрерывный сигнал рассогласования в импульсы определенной формы и длительности, следующие с периодом дискретности (повторения) который будем считать постоянным. В большинстве случаев при этом имеет место амплитудно-импульсная модуляция первого или второго рода (АИМ-1 или (рис. 7.2, а, б). Заметим, что систему с АИМ-2 называют импульсной системой с конечным временем съема данных, поскольку она реагирует не только на значение рассогласования к моменту начала очередного импульса, но и на его изменение за время длительности импульса. Анализ такой системы весьма сложен, что обычно заставляет пренебрегать изменением рассогласования за время длительности импульса и условно заменять АИМ-2 на АИМ-1.

Так как при АИМ-1 существенны значения рассогласования лишь в моменты начала импульсов, целесообразно выделить для рассмотрения именно такие значения. Для этого используется замена непрерывной функции решетчатой функцией где дискретное время, Решетчатой функцией времени называют функцию, определенную лишь в дискретные моменты времени Операция замены непрерывной функции решетчатой выражается формулой (рис. 7.2, в). В более общем случае рассматривают смещенную решетчатую функцию где относительное смещение,

С понятием решетчатой функции связано понятие идеального импульсного элемента, который ее вырабатывает из исходной непрерывной функции. Переход от решетчатой функции являющейся математической абстракцией, к реально существующим в системе импульсам осуществляется с помощью формирующего элемента. При АИМ-1 он представляет собой генератор прямоугольных

импульсов, следующих с периодом причем высота каждого из них определяется текущим значением решетчатой функции. Таким образом, реальный импульсный элемент заменяется последовательным соединением идеального импульсного элемента ИИЭ и формирующего элемента ФЭ (см. рис. 7.1, б).

Формирующий элемент наравне с непрерывной частью определяет динамические свойства импульсной системы, поэтому его целесообразно условно присоединить к непрерывной части.

Рис. 7.2

При этом получается приведенная непрерывная часть ПНЧ, ко входу которой приложена решетчатая функция а на выходе образуется непрерывная функция (см. рис. 7.1, б).

При анализе динамики замкнутой системы особый интерес представляют значения выходной величины в дискретные моменты времени поскольку именно они влияют через цепь главной обратной связи на дискретные значения рассогласования Рассмотрение вместо непрерывной функции решетчатой функции позволяет считать приведенную непрерывную часть системы импульсным фильтром.

Импульсным фильтром называют любое динамическое звено (или систему), входная и выходная величины которого рассматриваются в дискретные моменты времени. Замена приведенной непрерывной части импульсным фильтром — эффективный прием при исследовании импульсных и цифровых автоматических систем. Естественно, что вся замкнутая система при этом также считается импульсным фильтром, входной и выходной сигналы которого — решетчатые функции . Связь между ними выражается некоторым разностным уравнением, которое можно записать через значения входного и выходного сигналов:

Нахождение и анализ этого разностного уравнения составляют задачу исследования дискретной системы.

Z-преобразование.

Мощным математическим аппаратом исследования дискретных систем и решения разностных уравнений является z-преобразование. Оно играет ту же роль, что и преобразование Лапласа при исследовании непрерывных систем и решении дифференциальных уравнений.

Для некоторой решетчатой функции определенной при -преобразование записывают через дискретное преобразование Лапласа

с использованием аргумента

Для смещенных решетчатых функций вводят модифицированное -преобразование:

-преобразование можно применить также к изображению исходной непрерывной функции по Лапласу:

При записи подразумевают, что фактически -преобразование взято от решетчатой функции однозначно связанной с изображением

Таблица 7.1 (см. скан) Изображения решетчатых функций

z-преобразования некоторых решетчатых функций, а также исходные непрерывные функции и их изображения по Лапласу приведены в табл. 7.1. Там введена единичная импульсная решетчатая функция

играющая при исследовании дискретных систем такую же роль, как -функция при исследовании непрерывных систем.

Более подробные таблицы z-преобразований имеются, например, в [2, 4, 17]. Там же описаны его свойства, некоторые из которых без доказательства приведены далее.

1. Свойство линейности:

2. Теорема запаздывания:

3. Начальное значение оригинала:

4. Конечное значение оригинала:

5. Изображение свертки двух решетчатых функций:

Обратный переход от изображения к оригиналу в символической форме записывают как обратное z-преобразование: Эта задача не представляет трудностей, если изображение является табличным. При более сложном изображении оно обычно заменяется суммой дробей первой степени. Например, если изображение есть отношение двух многочленов

причем степень числителя не выше степени знаменателя, а корни знаменателя простые, то его можно представить в виде суммы [4]

где производная полинома по корни знаменателя.

Отсюда, воспользовавшись табл. 7.1, получим

Для нахождения оригинала часто применяют также разложение изображения в ряд Лорана

Так как по определению -преобразования

то коэффициенты ряда Лорана совпадают с соответствующими значениями оригинала, т.е. и т.д. Наиболее удобным приемом разложения дробно-рациональных функций в ряд Лорана является деление числителя на знаменатель.

Дискретные передаточные функции. Рассмотрим разностное уравнение импульсного фильтра в форме (7.1):

где и входной и выходной сигналы.

Используя свойство линейности -преобразования, перейдем к изображениям

или, на основании теоремы запаздывания,

Здесь за знаки суммирования вынесены изображения не зависящие от переменных

Из (7.2) получим для изображения искомой решетчатой функции выражение

где введена дискретная передаточная функция импульсного фильтра Она определяется как отношение -преобразования выходного сигнала к z-преобразованию входного сигнала.

Дискретная передаточная функция играет в дискретных системах ту же роль, что и обычная передаточная функция в непрерывных системах, которую также определяют как отношение изображений, но по Лапласу.

Выражению (7.3) соответствует запись дискретной передаточной функции как дробно-рациональной функции от

При этом особенно наглядна ее взаимно однозначная связь с разностным уравнением импульсного фильтра (7.1) через коэффициенты Разделив числитель и знаменатель (7.4) на в старшей степени, можно получить дробно-рациональную функцию аргумента Заметим, что соотношение порядков числителя и знаменателя дискретной передаточной функции (7.4), записанной относительно может быть произвольным и не влияет на возможность физической реализации импульсного фильтра. Это видно из разностного уравнения (7.1), в которое ни при каких порядках величин не входят будущие значения входной и выходной величин.

При нахождении дискретной передаточной функции за основу обычно принимаются временные характеристики дискретной системы. Важной временной характеристикой импульсного фильтра является решетчатая весовая функция определяемая как реакция импульсного фильтра на единичную импульсную решетчатую функцию поданную на его вход при нулевых начальных условиях.

В соответствии с этим определением при на выходе получаем Тогда выражение (7.3) конкретизируется в виде Поскольку то

Таким образом, дискретная передаточная функция импульсного фильтра есть z-преобразование его решетчатой весовой функции. Следовательно, правая часть выражения является произведением изображений решетчатых функций в соответствии со свойством z-преобразования равным изображению их свертки. Поэтому при переходе к оригиналу получим для выходной решетчатой функции

Частотные характеристики импульсных фильтров.

Пусть выходной сигнал импульсного фильтра является решетчатой функцией синусоидального вида:

где и — амплитуда, начальная фаза и частота: период дискретности.

При анализе удобно использовать ее символическую запись как последовательности комплексных чисел:

мнимая составляющая которых совпадает с (7.6). Здесь комплексная амплитуда.

Зная решетчатую весовую функцию импульсного фильтра найдем его реакцию на рассматриваемый сигнал. Для этого, используя формулу свертки (7.5) и выражение (7.7), запишем

Введем в рассмотрение комплексную функцию

которую запишем в виде

Здесь вещественные функции, являющиеся модулем и аргументом функции

С учетом (7.9) и (7.10) представим (7.8) в аналогичном (7.7) виде:

где - амплитуда; комплексная амплитуда функции

Выделив мнимую составляющую выражения (7.11), получим

Таким образом, искомый выходной сигнал линейного импульсного фильтра представляет собой, как и входной сигнал, гармоническую решетчатую функцию.

Функция равна отношению комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. Поэтому по аналогии с частотной передаточной функцией непрерывной системы она называется частотной передаточной функцией импульсного фильтра. Графики ее модуля и аргумента называют амплитудной частотной характеристикой и фазовой частотной характеристикой Вводятся и другие частотные характеристики импульсного фильтра, например логарифмические.

Как видно из (7.9), частотная передаточная функция получается из дискретной передаточной функции посредством подстановки

При рассмотрении частотной передаточной функции как функции круговой частоты выясняется, что вследствие периодичности комплексного аргумента она тоже периодическая и ее значения повторяются с периодом, равным круговой частоте квантования Такую же периодичность имеют все частотные характеристики импульсного фильтра. Физически это объясняется тем, что гармонические сигналы на частотах со и невозможно различить, наблюдая их лишь в дискретные моменты времени

Поэтому импульсный фильтр реагирует на такие сигналы совершенно одинаково.

Периодичность частотных характеристик импульсного фильтра, рассматриваемых в функции частоты делает их построение неудобным. Поэтому часто применяются частотная передаточная функция и частотные характеристики с использованием так называемой псевдочастоты. Переход к псевдочастоте делается на основе -преобразования.

Введем комплексную величину как билинейное преобразование комплексной величины

Возможно и обратное преобразование

Сделав в (7.12) подстановку получим

где представляет собой так называемую относительную псевдочастоту. Соотношение по форме совпадает с используемой для непрерывных систем записью

Удобно ввести в рассмотрение абсолютную псевдочастоту

При выполнении условия когда , она практически совпадает с круговой частотой , т. е. Это облегчает исследование дискретных систем. Кроме того, важно, что при изменении частоты в пределах псевдочастота пробегает все значения от до Поэтому при переходе к псевдочастоте наиболее интересный интервал частот, где полностью определяется форма частотных характеристик, растягивается до бесконечной длины, а периодичность частотных характеристик пропадает.

С использованием псевдочастоты частотную передаточную функцию импульсного фильтра с учетом записывают в виде

Она обычно является дробно-рациональной функцией.

Характеристики решетчатых случайных процессов.

Решетчатую функцию называют решетчатым случайным процессом, если ее значения в каждый момент дискретного времени являются случайными величинами. Каждая из этих случайных величин характеризуется одномерным, а их совокупность — многомерным законами

распределения. Будем рассматривать стационарные решетчатые случайные процессы, законы распределения значений которых не зависят от дискретного времени Для них, как правило, выполняется свойства эргодичности, позволяющее определить математическое ожидание и средний квадрат как средние по дискретному времени:

Для центрированных решетчатых процессов, обычно используемых при анализе точности дискретных систем, математическое ожидание равно нулю, а средний квадрат совпадает с дисперсией, т. е.

По аналогии с непрерывными случайными процессами вводится понятие корреляционной функции

Корреляционная функция решетчатого случайного процесса является неслучайной решетчатой функцией, основные свойства которой определяются соотношениями:

Статистическая связь значений двух стационарных случайных процессов характеризуется взаимной корреляционной функцией

При эти процессы называют взаимно некоррелированными.

Анализ прохождения случайных процессов через стационарные фильтры наиболее просто провести в частотной области, когда свойства фильтра характеризуются частотной передаточной функцией, а свойства процесса — спектральной плотностью. Спектральную плотность стационарного решетчатого случайного процесса вводят как двустороннее -преобразование корреляционной функции:

Ее можно выразить также через обычное одностороннее -преобразо-вание корреляционной функции:

если разбить интервал суммирования в (7.17) на части и использовать свойство четности корреляционной функции. Тогда

или при переходе к круговой частоте со

При записи (7.18) учтено, что функции являются комплексно-сопряженными, т. е. имеют одинаковые вещественные и противоположные по знаку мнимые части. Отсюда же видна четность спектральной плотности.

Интегрирование спектральной плотности на интервале дает средний квадрат решетчатого процесса:

Множитель равный периоду дискретности, отличает формулу (7.19) от соответствующей формулы для непрерывного процесса. Причина этого связана с тем, что размерность спектральной плотности (7.18) решетчатого процесса отличается от размерности спектральной плотности непрерывного процесса как раз на размерность времени.

Спектральная плотность может быть представлена как функция псевдочастоты. Поскольку справедливы равенства

соотношения (7.18) и (7.19) принимают вид

Спектральная плотность удобна тем, что она обычно является дробно-рациональной функцией квадрата псевдочастоты, а не трансцендентной периодической функцией, как Это позволяет использовать при вычислении интегралов вида (7.21) таблицы, составленные для интегралов спектральных плотностей непрерывных случайных процессов (см. приложение).

Типовой задачей анализа импульсных фильтров при случайных воздействиях является нахождение спектральной плотности выходного решетчатого случайного процесса по известным спектральной плотности входного процесса и частотной передаточной

функции фильтра Решение этой задачи, как и в непрерывных системах, имеет вид

При этом средний квадрат выходного процесса

Шумы квантования по уровню.

В отличие от импульсных систем цифровые системы радиоавтоматики не являются линейными импульсными фильтрами даже при малых рассогласованиях, поскольку представление сигналов в цифровой форме связано с их квантованием по уровню.

Рис. 7.3

Рис. 7.4.

Статическая характеристика входного АЦП показана на рис. 7.3, где цена единицы его младшего разряда; исходное непрерывное значение входной величины; ее цифровое представление.

Число отличных от нуля уровней одной ветви рассматриваемой характеристики

где число двоичных разрядов преобразователя (без учета знакового разряда); значение входной величины, которому соответствует максимальнее возможное двоичное число на выходе преобразователя.

При правильном построении преобразователя величина должна совпадать с максимальным возможным значением входной величины.

Если АЦП входит в контур замкнутой системы радиоавтоматики, то высокое качество ее работы может быть достигнуто только при достаточно малой величине В этом случае статическую характеристику АЦП можно линеаризовать, а погрешности от квантования, по уровню учесть добавлением во входной сигнал шума квантования, не коррелированного с сигналом. Соответствующая эквивалентная схема показана на рис. 7.4, где коэффициент передачи линеаризованного АЦП.

Максимальное значение шума квантования составляет Дисперсия этого шума, если допустить, что уровень его плотности вероятности в интервале от —62 до постоянен,

Корреляционная функция шума квантования затухает тем быстрее, чем меньше величина по сравнению со среднеквадратичным приращением (изменением) входного сигнала за время, равное периоду дискретности Можно показать, что при выполнении условия

где среднеквадратичное значение производной входного процесса, корреляционная функция отлична от нуля практически только при так как уже при ее значение пренебрежимо мало и составляет . Тогда для корреляционной функции шума квантования справедливо выражение

где единичная импульсная решетчатая функция.

Решетчатый случайный процесс с корреляционной функцией вида (7.28) называют дискретным белым шумом. Его спектральную плотность в соответствии с формулой (7.17)

При переходе к частоте псевдочастоте по формулам (7.18), спектральная плотность не изменяется и с учетом (7.25)

Таким образом, при выполнении условия (7.26) шум квантования по уровню во входном АЦП можно считать дискретным белым шумом равномерной спектральной плотностью.

Форма статической характеристики выходного ЦАП совпадает изображенной на рис. 7.3, но по оси абсцисс откладывается поступающая с ЦВМ цифровая величина, а по оси ординат — соответствующая ей выходная величина аналогового сигнала, которая может принимать лишь дискретныэ значения, кратные цене единицы младшего разряда При линеаризации ЦАП он, аналогично АЦП, заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи 62, на выход которого добавляется дискретный бэлый шум с дисперсией