Критерий устойчивости Гурвица.

Критерий устойчивости Гурвицг относится к числу алгебраических критериев, т. е. критериев, сформулированных в виде некоторых алгебраических формул. Критерий Гурвица приведем без доказательства. Составим из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой автоматической системы (1.12) квадратную матрицу, пользуясь следующим правилом.

По главной диагонали матрицы записывают коэффициенты уравнения от до Затем каждый столбец матрицы заполняют коэффициентами этого же уравнения: вверх — в порядке возрастания индекса коэффициентов, вниз — в порядке убывания. В тех местах каждого столбца, где индекс оказывается отрицательным или превышает записывают нуль. Таким образом, матрица имеет вид

Затем из элементов этой матрицы, расположенных симметрично относительно главной диагонали, составляют определители Гурвица:

Критерий Гурвица формулируется следующим образом. Для устойчивости системы с характеристическим уравнением (1.12) необходимо

и достаточно, чтобы при все определителей Гурвица, составленных из коэффициентов этого уравнения, были положительны, т. е. чтобы

Фактически при определении устойчивости системы необходимо вычислить не определителя, поскольку в силу необходимого условия устойчивости, а так как последний столбец определителя содержит лишь один отличный от нуля элемент причем 0.

В качестве примера рассмотрим условия устойчивости системы АСН (см. § 1.3), дифференциальное уравнение которой имеет вид (1.6):

чему соответствует характеристическое уравнение

где

Поскольку необходимое условие устойчивости выполнено, т. е. все коэффициенты характеристического уравнения положительны, система может быть устойчивой. Условие устойчивости, т. е. значения параметров системы, при которых система будет устойчивой, определим посредством критерия Гурвица. Из матрицы (2.2) для данного случая получаем

Таким образом, для рассматриваемой системы имеем лишь одно условие устойчивости т. е. или

Подставляя значения коэффициентов, получаем

При проектировании замкнутой автоматической системы постоянные времени ее звеньев, в частности постоянная времени исполнительного двигателя и постоянная времени Ту усилителя, являются заданными. Они определяются свойствами соответствующих элементов автоматики, входящих в состав системы, и не могут быть изменены в процессе проектирования системы. Значение же коэффициента (см. § 1.3) можно изменять в широких пределах, регулируя коэффициент передачи усилителя. Поэтому найдем допустимое по условию (2.4) значение при заданных и :

Из (2.5) видно, что увеличение постоянных времени отрицательно сказывается на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение коэффициента передачи системы при котором система еще остается устойчивой.