§ 6.2. ФИЛЬТРЫ КАЛМАНА

Общие замечания. Фильтры Винера обеспечивают минимум средней квадратичной ошибки системы лишь при бесконечном времени наблюдения, т. е. в установившемся режиме, и при условии стационарности случайных процессов, соответствующих задающему воздействию и помехе.

Иногда требуется минимизировать ошибку системы радиоавтоматики при любом конечном времени наблюдения, т. е. с учетом переходных процессов, а также при нестационарных случайных воздействиях на входе системы.

В этом случае эффективным методом оптимального синтеза является метод, разработанный Калманом и Бьюси [2], сводящий задачу нахождения оптимальной оценки входного воздействия к решению некоторого дифференциального уравнения. Этот метод успешно реализуется при использовании вычислительных машин, в особенности цифровых. Современное развитие микропроцессорной техники привело к широкому использованию этого метода для оптимизации бортовых систем обработки информации летательных аппаратов, морских судов и других объектов.

Системы, оптимизируемые указанным методом, носят название фильтров Калмана.

Уравнения состояния.

В основе теории оптимальной фильтрации Калмана лежит понятие пространства состояний (см. гл. 1). Поэтому метод Калмана называют также методом пространства состояний.

В отличие от метода Винера случайное задающее воздействие и помеха в методе Калмана характеризуются не спектральными плотностями а уравнениями состояния. Ограничиваясь случаем, когда помеха является белым шумом со спектральной плотностью покажем, как может быть получено уравнение состояния для задающего воздействия при заданной спектральной плотности этого воздействия.

Пусть спектральная плотность задающего воздействия имеет вид

Произведя факторизацию спектральной плотности (6.36), найдем передаточную функцию формирующего фильтра для задающего воздействия.

Пусть тогда на основании имеет вид

Здесь коэффициенты однозначно определяются коэффициентами из (6.36).

Обозначим через порождающий белый шум, из которого фильтр с передаточной функцией (6.37) формирует случайное задающее воздействие со спектральной плотностью (6.36). Тогда из (6.37) при подстановке разделив числитель и знаменатель на получим

откуда найдем стохастическое дифференциальное уравнение для случайного задающего воздействия со спектральной плотностью (6.36):

Запишем теперь (6.38) в форме уравнения состояния. Обозначим

тогда

Используем векторно-матричные обозначения для совокупностей переменных и коэффициентов:

матрица-столбец размера или -вектор;

матрица-столбец размера

квадратная матрица размера

Тогда уравнение (6.38) запишем в виде одного матричного уравнения первого порядка [см. гл. 1, вывод уравнения (1.30)]:

которое и является уравнением состояния для -мерного задающего воздействия Количество переменных состояния в этом уравнении определяется степенью полинома в знаменателе выражения (6.36) для спектральной плотности задающего воздействия которому в матрице соответствует обозначение

Чтобы из совокупности переменных состояния, содержащихся в матричном уравнении (6.44), выделить задающее воздействие необходимо (6.44) дополнить матричным уравнением вида

где матрица размера

Уравнения (6.44) и (6.45) являются исходными соотношениями для оптимального синтеза методом пространства состояний.

Заметим, что (6.38) является дифференциальным уравнением формирующего фильтра, возбуждаемого белым шумом На рис. 6.3 представлена схема набора на модели формирующего фильтра,

соответствующая (6.38), которая может быть использована для получения случайного процесса с заданной спектральной плотностью при моделировании систем радиоавтоматики, работающих в условиях случайных воздействий.