§ 5.2. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Основы метода.

Данный метод является приближенным, но он применим к нелинейным системам, описываемым дифференциальным уравнением любого порядка. Мы рассмотрим его только применительно к расчету автоколебаний в автоматических системах.

Предположим, что замкнутую автоматическую систему можно разбить на линейную часть и нелинейное звено (рис. 5.6). Уравнение линейной части запишем в общем виде:

где передаточная функция линейной части; х и у — входная и выходная величины нелинейного звена.

Пусть уравнение нелинейного звена имеет вид

Рис. 5.6

Метод гармонической линеаризации применим и к более сложным нелинейным зависимостям, например и др. Здесь х и у — производные входной и выходной величин нелинейного звена. Ограничимся указанным случаем (5.2).

Поставим задачу отыскания автоколебаний в данной нелинейной системе (рис. 5.6). Автоколебания будут, строго говоря, несинусоидальными, однако будем считать, что для переменной х они близки к гармонической функции. Это оправдывается тем, что линейная часть (5.1), как правило, представляет собой фильтр нижних частот. Поэтому линейная часть будет задерживать высшие гармоники, содержащиеся

в переменной у. Данное предположение носит название гипотезы фильтра. Если это предположение не выполняется и линейная часть представляет собой, например, фильтр верхних частот, то метод гармонической линеаризации может дать ошибочные результаты.

В связи со сказанным будем считать, что на вход нелинейного звена поступает гармонический сигнал где — амплитуда и угловая частота. Подставляя это выражение в заданную нелинейную функцию (5.2), разложим ее в ряд Фурье:

Положим, что в искомых колебаниях отсутствует постоянная составляющая, т. е. удовлетворяется равенство

Это условие выполняется всегда, когда нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат (см. рис. 5.1-5.4) и отсутствует приложенное к нелинейному звену внешнее воздействие.

Можно иаходить автоколебания и при наличии постоянной составляющей [4], но тогда решение надо искать в виде

В записанном разложении в ряд Фурье произведем замену и отбросим все высшие гармоники ряда, считая, что они не пропускаются линейной частью. Тогда для нелинейного звена получим приближенную формулу

где коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами разложения в ряд Фурье:

где

Таким образом, нелинейное уравнение (5.2) заменяется приближенным уравнением для первой гармоники (5.3), похожим на линейное уравнение. Особенность его заключается в том, что коэффициенты уравнения зависят от искомой амплитуды автоколебаний. В общем случае при более сложном характере нелинейной зависимости, например эти коэффициенты будут функцией как амплитуды, так и частоты искомых колебаний.

Проделанная операция замены нелинейного уравнения приближенным линейным носит название гармонической линеаризации, а коэффициенты, найденные по формулам (5.4) и (5.5), называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена.

На основании уравнения линейной части системы (5.1) и приближенного уравнения нелинейного звена (5.3) получаем передаточную функцию разомкнутой системы

и характеристическое уравнение замкнутой системы

Из выражения (5.6) подстановкой находим частотную передаточную функцию разомкнутой системы

Ее можно представить в виде произведения частотной передаточной функции линейной части системы которая является функцией частоты, и эквивалентной передаточной функции нелинейного звена, которая для рассматриваемого типа нелинейной зависимости (5.2) является функцией только амплитуды:

здесь

Модуль эквивалентной передаточной функции нелинейного звена

равен отношению амплитуды первой гармоники на его выходе к амплитуде входной величины. Аргумент его

определяет сдвиг фаз между первой гармоникой на выходе нелинейного звена и синусоидальным входным сигналом.

Можно показать, что для нелинейных звеньев с однозначными и симметричными относительно начала координат характеристиками, не имеющими гистерезисных петель, коэффициент гармонической линеаризации Поэтому для таких звеньев эквивалентная передаточная функция является чисто вещественной —

Часто используется величина, обратная эквивалентной передаточной функции нелинейного звена:

называемая иногда эквивалентным импедансом нелинейного звена. Использование ее удобно при расчете автоколебаний по критерию Найквиста.