§ 4.2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ

Общие сведения.

Исследование случайных процессов можно проводить с применением численных методов и моделирования.

Решение той или иной задачи методом моделирования заключается в разработке структурной схемы некоторой динамической системы, движение которой описывается уравнениями исходной задачи [4]. При воздействии на нестационарную систему случайных сигналов характеристикой точности ее работы в большинстве случаев является дисперсия ошибки на выходе системы. Поэтому задача состоит в исследовании методов построения схем моделирующих устройств для получения дисперсии в заданной точке системы, если известны статистические свойства входного сигнала.

Наиболее простым способом моделирования для определения статистических характеристик выходного сигнала является подача на вход моделирующего устройства, воспроизводящего движение исследуемой системы, сигналов в виде реализаций заданного входного случайного процесса с последующей обработкой выходных сигналов. Другие способы исследования нестационарных процессов с помощью моделирующих устройств направлены на непосредственное использование аналитических соотношений между статистическими характеристиками входного и выходного сигналов, причем моделирование применяется для автоматизации наиболее трудоемкой части расчетов. Желательно решать задачу исследования на моделирующих устройствах полностью. Однако при этом как на класс исследуемых систем, так и на класс входных случайных процессов накладываются ограничения, связанные с необходимостью получения удобных для применения аналитических зависимостей. Поэтому такие способы моделирования нестационарных процессов хорошо разработаны лишь для класса линейных систем.

Наиболее простым для исследования случаем нестационарного выходного процесса является такой, когда входной сигнал стационарен и исследуемая система имеет постоянные параметры. Поскольку система с постоянными параметрами является частным случаем системы с переменными параметрами, перейдем к рассмотрению способов применения моделирующих устройств для данного случая.

Метод формирующих фильтров.

Применение метода основано на возможности представления спектральной плотности входного процесса в виде дробно-рациональной функции частоты. При этом возможно разложение где комплексно-сопряженные функции. Тогда

можно трактовать как спектральную плотность стационарного процесса на выходе фильтра с постоянными параметрами и с передаточной функцией на входе которого действует белый шум некоторой интенсивности Этот фильтр и формирует из белого шума заданный входной процесс. Таким образом, исследуемую систему

с заданным входным процессом можно заменить последовательным соединением этой системы с формирующим фильтром с белым шумом на входе. Для исключения нестационарности самого формирующего фильтра необходимо включать вход исследуемой системы по истечении времени эффективной длительности импульсной переходной функции формирующего фильтра (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Теперь в соответствии с формулой для получения дисперсии достаточно определить сопряженную импульсную переходную функцию полученного соединения, возвести ее в квадрат и проинтегрировать до некоторого момента времени Для исключения влияния переходного процесса в формирующем фильтре нижний предел интегрирования нужно взять равным Сопряженная импульсная переходная функция может быть найдена либо моделированием сопряженной системы уравнений, либо моделированием инверсной системы