Глава 6. СИНТЕЗ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

§ 6.1. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ ПРИ БЕСКОНЕЧНОМ ВРЕМЕНИ НАБЛЮДЕНИЯ

Постановка задачи оптимального синтеза.

В гл. 3 была рассмотрена задача оптимизации параметров системы радиоавтоматики при наличии случайных возмущений (помех). В данной главе рассмотрим более общую задачу оптимального синтеза — задачу оптимизации структуры и параметров системы. Такая задача возникает в случае, когда не только помеха, но и задающее воздействие являются случайными функциями времени.

При случайных воздействиях на входе системы мгновенная ошибка является также случайной функцией времени и потому не может служить показателем качества системы. Показателем качества системы радиоавтоматики при случайных воздействиях служит среднеквадратичная ошибка, определяемая как где

дисперсия ошибки.

Определим дисперсию ошибки при известных спектральных плотностях задающего воздействия и помахи.

Пусть входное воздействие линейной системы радиоавтоматики представляет собой аддитивную смесь случайного задающего воздействия и помехи т. е.

как показано на рис.

Предположим, что нормальные стационарные случайные процессы с равными нулю математическими ожиданиями и с известными спектральными плотностями или корреляционными функциями и Кроме того, ограничимся

чаем, когда задающее воздействие и помеха статистически независимы. Тогда спектральная плотность входного воздействия

Ошибка замкнутой системы радиоавтоматики при входном воздействии вида (6.2) может быть представлена в виде суммы двух составляющих: ошибки по задающему воздействию и ошибки по помехе:

Если передаточная функция замкнутого контура этой системы, то в соответствии с (1.58) и (1.60)

При статистически независимых задающем воздействии и помехе ошибки также статистически независимы и спектральная плотность ошибки в этом случае равна сумме спектральных плотностей составляющих ошибки:

где спектральная плотность ошибки спектральная плотность ошибки

Из (6.4) на основании (3.48) находим

Тогда с учетом (6.5) получаем, что дисперсия ошибки системы

и соответственно среднеквадратичная ошибка зависят от вида передаточной функции этой системы. При тех же спектральных плотностях задающего воздействия и помехи значения среднеквадратичной ошибки для систем с разными передаточными функциями будут различными. В терминах функционального анализа среднеквадратичная ошибка системы в рассматриваемых условиях ее работы есть функционал от передаточной функции системы определяемый выражением (6.8).

Задачей оптимального синтеза является нахождение такой передаточной функции при подстановке которой под знак интеграла (6.8) при заданных спектральных плотностях дисперсия ошибки полученная в результате вычисления этого интеграла, будет иметь наименьшее из всех возможных значений, соответствующих любым

В терминах функционального анализа задачей оптимального синтеза является нахождение передаточной функции доставляющей экстремум (минимум) функционалу (6.8), определяющему значение выбранного показателя качества системы — среднеквадратичной ошибки.

Передаточную функцию обладающую указанным свойством, называют оптимальной передаточной функцией, а экстремум выбранного показателя качества — критерием оптимальности. В данном случае критерием оптимальности является критерий минимума среднеквадратичной ошибки:

Поскольку передаточная функция системы определяет ее структуру, приходим к следующей формулировке: задачей оптимального синтеза системы радиоавтоматики при заданных спектральных плотностях задающего воздействия и помехи является синтез структуры этой системы, оптимальной по критерию минимума среднеквадратичной ошибки.

Замкнутые системы радиоавтоматики часто являются следящими радиотехническими измерителями параметров движения объектов: угловых координат, дальности и составляющих вектора скорости. Таким образом, задающее воздействие системы является измеряемой величиной, а выходная (управляемая) величина результатом измерения или в терминах теории оптимальной фильтрации оценкой измеряемой величины

Оптимальный следящий измеритель вырабатывает, таким образом, оптимальную по критерию минимума среднеквадратичной ошибки оценку измеряемой величины

Система, оптимальная по критерию минимума среднеквадратичной ошибки, может быть нелинейной. Тогда задачей оптимального синтеза является нахождение оптимальной системы не в классе линейных систем, а в более широком классе нелинейных систем, что существенно усложняет решение задачи. Однако в случае, когда задающее воздействие и помеха — нормальные (гауссовы) случайные процессы, оптимальная система является линейной.