Решение уравнения Винера — Хопфа без учета условия физической реализуемости синтезируемой системы.
Приступая к решению интегрального уравнения Винера — Хопфа, обратим внимание на то, что левая часть уравнения (6.11) по своей структуре близка к интегралу свертки функций 
вида (1.25) и отличается от него тем, что аргументом функции 
под знаком интеграла является разность 
а не величина 
что характерно для интеграла свертки. Нетрудно заметить, что левая часть (6.11) будет точной сверткой, если пределы интегрирования принять не от 0 до 
а от 
до 
так как в этом случае слагаемое 
в аргументе функции 
можно отбросить. Действительно, если 
изменяется в пределах от 
до 
то и разность 
изменяется в тех же пределах при любом конечном 
Переход к бесконечным пределам интегрирования означает, что синтезируемая система будет оптимальной лишь при бесконечном времени наблюдения, т. е. в установившемся режиме.
Итак, запишем (6.11) в виде
и сделаем замену переменных, обозначив 
Тогда (6.11) примет вид
Здесь, очевидно, левая часть уравнения — свертка функций 
При решении уравнения (6.12) на данном этапе откажемся от требования физической реализуемости системы, т. е. от требования, чтобы весовая функция системы обращалась в ноль при отрицательных значениях ее аргумента (1.22). В этом случае уравнение (6.12) решается достаточно просто.
Воспользуемся теоремой о свертке из теории преобразования Фурье, которая гласит: преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье свертываемых функций.
Обозначив буквой 
оператор преобразования Фурье, из (6.12)
получаем
при статистической независимости 
Но преобразование Фурье весовой функции системы есть частотная передаточная функция этой системы [см. (1.38)], а преобразование Фурье корреляционнойфункции случайного процесса есть спектральная плотность этого процесса, т. е.
и из (6.13) получаем
откуда находим частотную передаточную функцию оптимальной системы
Напомним, что эта передаточная функция соответствует физически нереализуемой системе.
Подставляя (6.14) в (6.8), найдем дисперсию 
ошибки оптимальной физически нереализуемой системы:
Практическое значение полученного результата заключается в том, что дисперсия ошибки 
определяет потенциальную точность оптимальной системы при заданных спектральных плотностях задающего воздействия и помехи этой системы, т. е. теоретическую нижнюю границу дисперсии ошибки, определяемую лишь расчетным путем, но не достижимую ни для какой реальной системы.
