§ 1.3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

Общая характеристика методов. Всякое устройство, рассматривае мое лишь с точки зрения математической зависимости между его выходной и входной величинами как функциями времени, называется динамической системой. Таким образом, динамической системой является автоматическая система в целом и каждое ее звено в отдельности.

Задачей математического исследования автоматической системы, как системы дпнгмической, является определение реакции этой системы на заданное входное воздействие или, что является более простой задачей, нахождение некоторых характеристик системы, определяющих ее общие свойства.

Основные методы математического исследования автоматических систем можно разделить на две группы — временные методы и частотные методы.

Временные методы базируются на использовании дифференциального уравнения системы, позволяющего определить передаточную функцию системы и найти такие важнейшие ее характеристики, как переходная и весовая функции. Знание весовой функции позволяет исследовать процессы в системе посредством интеграла свертки.

Частотные методы основаны на использовании частотной передаточной функции системы, а также на ее частотных логарифмических характеристиках.

Использование дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения широко используются при исследовании процессов в автоматических системах непрерывного действия, в особенности в системах нелинейных и в системах с переменными параметрами. Для линейных систем с постоянными параметрами развиты более удобные в практическом отношении частотные методы.

Общий метод составления дифференциального уравнения автоматической системы заключается в следующем. Для каждого функционального злекента автоматической системы составляют в соответствии с его теорией дифференциальное уравнение, связывающее выходную величину этого элемента с входной. В результате получают систему уравнений, число которых равно числу функциональных элементов автоматической системы. В полученной системе дифференциальных уравнений величины рассматривают как основные, а все остальные Ееличины на входе и выходе функциональных элементов — как промежуточные. Исключая из полученной системы уравнений

все промежуточные величины, получим уравнение, связывающее величины уравнение автоматической системы.

Процедура исключения промежуточных переменных из систем дифференциальных уравнений достаточно трудоемкая. Упрощение этой процедуры для линейных систем достигается применением передаточных функций.

Пусть дифференциальное уравнение линейной динамической системы имеет вид

где

Обозначим оператор дифференцирования и запишем (1.3) в виде

Рассматривая формально как общий множитель в левой части уравнения (1.4), а в правой, представим (1.4) в виде

дифференциальный полином левой части уравнения; -дифференциальный полином правой части уравнения.

Разделив формально обе части уравнения на получим

где передаточная функция, соответствующая дифференциальному уравнению (1.3).

Выражение (1.5) представляет собой лишь сокращенную операторную форму записи уравнения (1.3). При этом правую часть (1.5) формально рассматривают как произведение передаточной функции и функции времени.

Введенное понятие передаточной функции с использованием алгебраизированного оператора дифференцирования и функций времени является нестрогим.

Строгое определение передаточной функции с использованием преобразования Лапласа и комплексной переменной изложено далее.

Рассмотрим применение передаточных функций для свертывания системы дифференциальных уравнений в одно уравнение более высокого порядка на примере системы АСН (см. рис. 1.9). Для простоты рассмотрим систему АСН без корректирующего устройства. Процессы

в системе описываются следующими уравнениями:

- уравнение для ошибки;

уравнение дискриминатора;

уравнение усилителя (упрощенное);

уравнения исполнительного двигателя с редуктором,

где коэффициент передачи дискриминатора; постоянная времени и коэффициент передачи усилителя; постоянная времени и коэффициент передачи исполнительного двигателя; коэффициент передачи редуктора.

Уравнение исполнительного двигателя является в данном случае одновременно и уравнением объекта управления — следящей антенны, момент инерции которой учитывается при определении постоянной времени исполнительного двигателя.

Перепишем эти уравнения в операторной форме (1.5), т. е.

Подставляя последовательно в получим

откуда, обозначив найдем уравнение системы АСН

или

где

В общем случае линейное дифференциальное уравнение замкнутой автоматической системы запишем в виде

при или в операторной форме

где

передаточная функция замкнутой автоматической системы

Как следует из (1.9), представляет собой отношение полиномов символической переменной т. е. является дробно-рациональной функцией этой переменной.

Полное описание процессов в замкнутой автоматической системе, т.е. описание изменений во времени управляемой величины при заданном входном воздействии дается общим решением уравнения (1.7). Как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (1.7) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения

получаемого из (1.7) приравниванием нулю его правой части, и частного решения неоднородного уравнения (1.7), т. е.

Общее решение однородного уравнения определяет свободное движение автоматической системы, обусловленное начальным рассогласованием системы в отсутствие внешнего воздействия. Частное решение неоднородного уравнения определяет вынужденное движение автоматической системы, т. е. на внешнее воздействие в отсутствие начального рассогласования.

Общее решение однородного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения имеет вид

где корни характеристического уравнения системы

соответствующего дифференциальному уравнению (1.7); — постоянные, определяемые начальными условиями.

Начальными условиями называют значения функции ее первых производных в момент времени т. е. чисел среди которых, по крайней мере, одно должно быть отличным от нуля. В противном случае и свободное движение отсутствует. Это означает, что к моменту времени система находилась в состоянии покоя.

Таким образом, общее решение однородного уравнения ищем

при ненулевых начальных условиях. Это решение характеризует процессы в системе в отсутствие внешнего воздействия (с чем связано его название «свободное движение») и определяется начальными условиями.

Свободное движение нормально работающей автоматической системы с течением времени затухает, т. е. при

Частное решение неоднородного уравнения ищем при нулевых начальных условиях в соответствии с методикой, излагаемой в руководствахпо дифференциальным уравнениям. Оно однозначно определяется для каждого дифференциального уравнения внешним воздействием (отсюда название — «вынужденное движение») и характеризует реакцию автоматической системы на это воздействие.

Вынужденное, или установившееся, движение системы с той или иной степенью точности воспроизводит задающее воздействие как функцию времени, т. е.

где установившаяся ошибка автоматической системы.

Системы, свободное движение которых с течением времени затухает, называют устойчивыми. Устойчивость — важнейшее свойство автоматической системы, которое должно быть обеспечено в процессе проектирования и наладки системы. Неустойчивые системы не могут выполнять своих функций.

Как следует из (1.11), система устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные корни характеристического уравнения (1.12) этой системы отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные части. Действительно, каждому отрицательному вещественному корню соответствует в (1.11) слагаемое вида где а каждой паре комплексно-сопряженных корней с отрицательной вещественной частью — слагаемое вида где Каждое из этих слагаемых стремится к нулю при следовательно, т. е. система устойчива.

Таким образом, однородное дифференциальное уравнение автоматической системы дает возможность исследовать важнейшее свойство системы — ее устойчивость.

Использование передаточных функций. Пусть дано дифференциальное уравнение линейной динамической системы (1.3):

Преобразуем по Лапласу левую и правую части этого уравнения. Напомним что, если

где комплексная переменная, есть изображение по Лапласу функции времени то изображение по Лапласу производной

этой функции при нулевых начальных условиях

Применив преобразование (1.14) к левой и правой частям уравнения (1.3) и учитывая свойство линейности этого преобразования, получим

или

откуда

где

Здесь полиномы переменной степеней соответственно, называют передаточной функцией динамической системы. Она определяет отношение изображения по Лапласу отклика системы к изображению входного воздействия. Как следует из (1.16), передаточная функция линейной динамической системы является дробно-рациональной функцией переменной

Формально передаточная функция динамической системы при заданном дифференциальном уравнении этой системы определяется очень просто. Для этого достаточно записать уравнение (1.3) в операторной форме (1.4), а затем, рассматривая символ как переменную-преобразования Лапласа, заменить в (1.5) функции времени и их изображениями т.е. имея выражение сразу пишем

Подчеркнем, что в отличие от (1.5) выражение (1.15) не носит формального характера и является алгебраическим (а не символическим!) соотношением, определяющим изображение выходной величины системы через изображение входной величины. Таким образом, передаточная функция динамической системы определяет в области изображений реакцию этой системы на заданное входное воздействие.

После того как в соответствии с (1.15) при заданной функции нгйдено изображение отклика системы, функцию времени определяем путем обратного преобразования Лапласа, т. е.

где оператор, обратный оператору Лапласа

Практически обратное преобразование выполняют путем разложения на простейшие дроби с последующим использованием таблиц преобразований Лапласа.

Пример 1.1. Дано уравнение системы и входное воздействие Требуется определить процесс на выходе.

В соответствии получаем откуда По таблицам изображений Лапласа находим

Тогда

Разложим на простейшие дроби:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителе левой и правой частей этого равенства, получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов:

Откуда находим

Воспользовавшись таблицами изображений Лапласа, находим

и окончательно получаем процесс на выходе системы

где

Использование переходной и весовой функций. Переходная функция служит для оценки качества работы автоматической системы в переходном режиме. Переходной функцией линейной динамической системы называют отклик этой системы на единичную ступенчатую функцию, определяемую как

При заданном дифференциальном уравнении линейной динамической системы ее переходную функцию наиболее просто определить следующим образом. Записав дифференциальное уравнение в символической форме и обозначив переходную функцию получим из (1.5)

Перейдем в область изображений по Лапласу:

где

Откуда, используя таблицы преобразования Лапласа и снова переходя во временную область, получим

Необходимость умножения на функции, полученной в результате обратного преобразования Лапласа, обусловлена тем, что переходная функция как реакция на воздействие, отличное от нуля лишь при , равна нулю при т. е. при что и обеспечивается введением множителя

Рис. 1.13.

Графическое изображение переходной функции называют переходной характеристикой. Типовые переходные характеристики автоматических систем приведены на рис. 1.13. Кривые на рис. 1.13, а, б соответствуют устойчивой системе, кривые на рис. 1.13, б, г - неустойчивой.

Пример 1.2. Пусть система описывается уравнением или где Тогда передаточная функция

Отсюда находим

Весовой функцией линейной системы называют отклик этой системы на единичную дельта-функцию, которая может быть определена как производная единичной ступенчатой функции:

причем для любых Эту функцию иногда называют функцией веса.

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством, предельно упрощающим вычисление определенных интегралов, в подынтегральное выражение которых эта функция входит как сомножитель

при любых для любой ограниченной функции Кроме того, для любой ограниченной функции имеет место равенство если если

Записав дифференциальное уравнение линейной динамической системы в форме (1.5), с учетом (1.18) и (1.20) получим

Таким образом, функция веса динамической системы равна производной переходной функции этой системы. Поскольку функция реакция динамической системы на воздействие, приложенное к ее входу в момент времени и отсутствующее при а никакая реальная система не может реагировать на входное воздействие до того, как оно поступило на ее вход, ясно, что для всякой реальной динамической системы при Требование

называют условием физической реализуемости системы. Поэтому в каждом частном случае, когда весовой функцией системы является некоторая конкретная функция времени которая определена для всех в интервале и не равна нулю при весовая функция

или

где единичная ступенчатая функция.

Таким образом, на весовую функцию физически возможной динамической системы принудительно накладывается ограничение (1.22).

Например, весовая функция автоматической системы, описываемой уравнением Ту формируется из функции и имеет вид

так как

Использование интеграла свертки. Если известна весовая функция динамической системы, то процесс на выходе этой системы при произвольном входном воздействии определится интегралом Дюамеля, или интегралом свертки

где переменная интегрирования.

Учитывая, что при отрицательных значениях своего аргумента и соответственно при иногда (1.25) записывают в виде

Подчеркнем, что эта форма записи интеграла свертки для реальных (физически возможных) систем является формальной, так как для в соответствии с (1.22) подынтегральное выражение в (1.26) следует положить равным нулю, т. е. выполнять интегрирование в пределах

Процесс на выходе системы, определяемый (1.25), содержит переходную и установившуюся составляющие.

Установившаяся составляющая может быть выделена из если нижний предел интегрирования положить равным Действительно, в этом, случае от момента приложения внешнего воздействия к входу системы до текущего момента времени процесс в системе длиться бесконечно долго и переходная составляющая процесса полностью затухнет. Тогда

Выражение (1.27) часто записывают в несколько ином виде. Сделаем замену переменных, положив Тогда

при при Учитывая, что при перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования знак интеграла изменяется, из (1.27) получим

Здесь, в отличие от (1.26), интегрирование выполняется в пределах чему соответствует изменение переменной в выражении (1.27) в пределах

Весовая функция динамической системы связана парой преобразований Лапласа с передаточной функцией этой системы. Действительно, из (1.21) имеем откуда в соответствии с правилом перехода от дифференциального уравнения в форме (1.5) к передаточной функции, полагая получаем так как Соответственно

Пример 1.3. Пусть дифференциальное уравнение системы имеет вид

Тогда передаточная функция этой системы

По таблице изображений Лапласа находим весовую функцию

Использование векторно-матричных уравнений. В ряде случаев процессы, протекающие в управляемом объекте, характеризуются не одной, а несколькими изменяющимися во времени взаимозависимыми величинами Такой объект управления называют многомерным.

Управление многомерным объектом осуществляется посредством многомерной системы управления с несколькими задающими воздействиями и несколькими управляемыми величинами Процессы в такой системе управления описываются не одним, а совокупностью дифференциальных уравнений.

Примером многомерной системы управления может служить система управления самолетом, управляемыми величинами которой являются высота и скорость полета, курсовой угол, угол тангажа, угол крена. Указанные величины являются взаимозависимыми, т. е. изменение одной из названных величин влечет за собой изменение других. Вследствие этого система управления самолетом является многомерной и ее нельзя рассматривать как простую совокупность одномерных систем.

Часто для удобства исследования многомерных (а иногда и одномерных) систем управления дифференциальные уравнения этих систем

путем формальных преобразований приводят ксистеме дифференциальных уравнений первого порядка и записывают в матричной форме в виде

где матрица-столбец размера содержащая переменных, элементами которой являются управляемые величины и их производные; матрица-столбец размера содержащая переменных, элементами которой являются задающие воздействия и их производные: квадратная матрица коэффициентов размера прямоугольная матрица коэффициентов размера

Переменные называют переменными состояния, а всю их совокупность — пространством состояний, переменные переменными управления, а матричное дифференциальное уравнение уравнением состояния.

Решение уравнения состояния получают также в матричной форме. Матрицы-столбцы переменных состояния х и переменных управления и называют также векторами: вектор состояния, и — вектор управления. При этом уравнение состояния (1.30) называют векторно-матричным уравнением. Строго говоря, такое наименование для матрицы-столбца правомерно только тогда, когда ее элементы имеют одинаковую физическую размерность. В противном случае матрицу-столбец можно называть вектором лишь условно. При этом образование линейной формы из элементов этой матрицы (например, при составлении векторно-матричного дифференциального уравнения) осуществляется с использованием размерных коэффициентов уравнивающих размерности слагаемых в полученной линейной форме.

Рассмотрим процедуру составления уравнения состояния для одномерной автоматической системы, описываемой уравнением (1.7).

Обозначим в где Тогда При этом дифференциальное уравнение порядка (1.7) преобразуется к системе уравнений первого порядка вида

или

где

Введем обозначения: — матрица-столбец размера переменных состояния, или -вектор состояния, — матрица-столбец размера переменных управления, или вектор управления,

Тогда полученную систему уравнений первого порядка запишем в виде одного векторно-матричного уравнения первого порядка, т. е. в виде уравнения состояния, аналогичного (1.30).

Общее решение уравнения (1.30) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид где матрица размера удовлетворяющая уравнению при начальных условиях (здесь единичная матрица).

Матрицу называют фундаментальной матрицей уравнения (1.30).

Она имеет вид где матричная экспонента.

Частное решение неоднородного уравнения (1.30) может быть выражено через фундаментальную матрицу и представлено в виде многомерной (матричной) свертки:

где матрица весовых функций размера автоматической системы, описываемой уравнением (1.30).

На основании теоремы об изображении свертки получаем где и соответственно матрицы изображений переменных состояния и переменных управления; матрица передаточных функций автоматической системы, определяемая как изображение матрицы весовых функций.

Использование частотных передаточных функций. Частотные методы исследования автоматических систем основаны на рассмотрении установившейся реакции системы на гармоническое входное воздействие.

Частотные передаточные функции используются главным образом в задачах анализа автоматических систем. Для решения задач синтеза более удобен и получил широкое распространение метод логарифмических частотных характеристик.

Пусть дано дифференциальное уравнение динамической системы [см. (1.3)]. Рассмотрим установившуюся реакцию этой системы на гармоническое входное воздействие, которое запишем в комплексной форме:

где амплитуда гармонических колебаний; — круговая частота колебаний; начальная фаза колебаний; комплексная амплитуда колебаний.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1.3) при нулевых начальных условиях в виде

Подставляя (1.31) и (1.32) в (1.3) и учитывая, что

получим

где

частотная передаточная функция динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением (1.3).

Как следует из (1.33), частотная передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной

Сравнивая (1.33) и (1.16), видим, что частотная передаточная функция может быть формально получена из передаточной функции путем подстановки

Частотная передаточная функция есть комплексная функция переменной и, как всякая комплексная функция, может быть представлена в одной из форм:

или

где вещественная часть функции мнимая часть функции модуль функции аргумент функции или фаза.

Модуль частотной передаточной функции динамической системы определяет амплитудно-частотную характеристику этой системы, а аргумент—фазочастотную характеристику

Частотная передаточная функция является вектор-функцией и графически изображается на комплексной плоскости в виде вектора с прямоугольными координатами или с полярными координатами как показано на рис. 1.14. При изменении переменной со в пределах конец вектора описывает кривую, которую называют амплитудно-фазовой характеристикой системы

Из рис. 1.14 может быть найдена связь между вещественной и мнимой частями функции с одной стороны, и модулем и аргументом — с другой:

и

Рис. 1.14

Вещественная часть функции есть четная функция переменной , а мнимая часть — нечетная функция. Действительно, запишем (1.33) в виде

Знаменатель этого выражения, общий для представляет собой квадрат модуля функции и содержит лишь четные степени со. Следовательно, мнимая и вещественная части частотной передаточной функции выделяются в числителе. Но при умножении полиномов вещественная часть произведения содержит лишь четные степени со, а мнимая часть — лишь нечетные. Таким образом, числитель и знаменатель функции содержат лишь четные степени со и тогда в то время как числитель функции содержит лишь нечетные степени со, а знаменатель — четные, и тогда Отсюда также следует, что модуль четная функция, т.е. а фаза нечггная функция, т.е.

Поэтому АФХ динамической системы представляет собой кривую, симметричную относительно оси абсцисс, так как каждой точке АФХ с координатами или соответствует ее зеркальное отражение в оси абсцисс с координатами или Соответственно АЧХ системы симметрична относительно оси ординат, а ФЧХ симметрична относительно начала координат.

Запишем (1.32) с учетом (1.35) в виде

или

откуда находим

Из (1.37) видно, что амплитуда выходных колебаний системы при неизменной амплитуде входных зависит от частоты этих колебаний. Отношение амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных, как функция частоты, определяете модулей стотной передаточной функции системы Фазовый сдвиг между выходными и входными колебаниями, как следует из (1.37), также зависит от частоты этих колебаний и, как функция частоты, определяется аргументом частотной передаточной функции системы

Таким образом, частотная передаточная функция динамической системы полностью определяет прохождение гармонического колебания через эту систему.

В случае произвольного (не гармонического) входного воздействия частотная передаточная функция системы равна отношению изображений по Фурье выходной и входной величин этой системы. Действительно, подвергнем преобразованию Фурье левую и правую части уравнения (1.3). При этом преобразования Фурье входной и выходной функций системы определяют комплексные спектры этих функций. Если обозначить через соответственно спектры функций то

где оператор преобразования Фурье.

При этом предполагаем, что функции абсолютно интегрируемы, т. е. интегралы существуют и имеют конечные значения.

Учитывая, что для всякой абсолютно интегрируемой функции имеет место равенство

и подвергнув преобразованию Фурье уравнение (1.3), получим

откуда

где совпадает с (1.33). Заметим, что формально выражение (1.38) может быть получено из (1.15) подстановкой

Пример 1.4. Найдем установившееся движение системы по условиям примера 1.1, используя частотную передаточную функцию. Подстановкой находим

Тогда для вход действует полагая получим

отсюда

Таким образом, установившийся процесс на выходе линейной системы при гармоническом входном воздействии наиболее просто определить при использовании ее частотной передаточной функции.

Использование логарифмических частотных характеристик. Метод построения логарифмических частотных характеристик состоит в том, что амплитудная и фазовая частотные характеристики исследуемой динамической системы изображают графически в виде непрерывных кривых, причем строят эти кривые в логарифмическом масштабе. Поэтому они называются: логарифмическая амплитудная частотная характеристика и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ). Кроме того, логарифмическую амплитудную характеристику строят приближенно в виде отдельных прямолинейных отрезков, называемых асимптотами ЛАХ, что существенно упрощает построение этой характеристики. Такую ЛАХ называют асимптотической.

Для некоторого достаточно широкого и важного класса систем при использовании метода логарифмических частотных характеристик оказывается возможным ограничиться построением ЛАХ без построения ЛФЧХ, так как для систем этого класса между амплитудной и фазовой частотными характеристиками имеется однозначная связь, благодаря которой амплитудная частотная характеристика системы содержит исчерпывающую информацию о свойствах этой системы. Это так называемые минимально-фазовые системы и звенья. Минимально-фазовой называют такую линейную динамическую систему, у которой корни характеристических уравнений, соответствующих числителю и знаменателю передаточной функции этой системы, имеют отрицательные вещественные части.

Благодаря простоте построения логарифмических частотных характеристик использование их оказывается эффективным при решении многих практических задач. В настоящее время метод логарифмических частотных характеристик всесторонне разработан и относится к числу основных методов анализа и синтеза линейных автоматических систем как непрерывного, так и дискретного действия.

Пусть частотная передаточная функция исследуемой динамической системы. Выражение для логарифмической амплитудной характеристики выраженной в Дб, записывают в виде

При построении этой кривой частоту откладывают по оси абсцисс в логарифмическом масштабе. Значения функции откладывают по оси ординат в децибелах в линейном масштабе.

Логарифмическую фазовую характеристику строят в соответствии с (1.36). При этом частоту также откладывают по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, а значения фазы по оси ординат в градусах в линейном масштабе.

Способ построения асимптотической ЛАХ рассмотрим на конкретном примере. Пусть передаточная функция динамической системы имеет вид

Нумерацию постоянных времени в выражении передаточной функции всегда производят в порядке убывания их числовых значений, т. е. . В (1.40) примем строгие неравенства тогда

где причем

Величины обратные постоянным времени динамической системы, называют сопрягающими частотами этой системы.

Коэффициент передачи системы имеет в данном случае размерность круговой частоты или просто Таким образом, частотная передаточная функция безразмерная функция частоты

В соответствии с (1.35) имеем

Логарифмируя (1.41), получаем

При построении асимптотической ЛАХ пользуются следующим правилом. В выражении для всех значений

пренебрегают вторым слагаемым по сравнению с единицей, а для значений пренебрегают единицей по сравнению со вторым слагаемым. Возникающая при этом ошибка не превышает нескольких децибел.

Если в выражении частотной передаточной функции содержится сопрягающих частот, то асимптотическая ЛАХ состоит из асимптот. Каждую асимптоту строят в диапазоне частот При этом первую асимптоту строят для а последнюю — для

В рассматриваемом примере и ЛАХ состоит из четырех асимптот.

Первая асимптота соответствует изменению частоты в пределах . В соответствии с правилом построения ЛАХ для первой асимптоты из (1.43) получае

Для удобства построения первой асимптоты будем формально рассматривать (1.44) при изменении частоты в пределах

Рис. 1.15

Поскольку при построении ЛАХ переменную откладывают по оси частот в логарифмическом масштабе, то (1.44) есть уравнение прямой, проходящей через точку с координатами и имеющей наклон -20 дБ/дек (децибел на декаду), так как при изменении на одну декаду, т. е. в 10 раз, изменяется на как следует из (1.44), с ростом функция убывает.

На рис. 1.15 эта прямая изображена сплошной линией для и пунктирной для Сплошная линия есть первая асимптота ЛАХ

рассматриваемой системы. Конец этой асимптоты, как следует из (1.44), находится в точке где

Вторая асимптота соответствует изменению частоты в пределах При этом из (1.43) получаем

Выражение (1.45) — уравнение отрезка прямой, проходящей через точки где в соответствии с Очевидно, наклон этого отрезка составляет

Из (1.44) и (1.45) видно, что конец первой асимптоты и начало второй совпадают, т. е. в точке с абсциссой происходит сопряжение первой и второй асимптот

Третью асимптоту строят в диапазоне частот . В этом случае из (1.43) следует

Это уравнение отрезка прямой, проходящей с наклоном -20 дБ/дек через точки где в соответствии с Здесь также имеет место сопряжение второй и третьей асимптот в точке

Четвертая асимптота соответствует диапазону частот . Из (1.43) получаем

Из (1.47) следует, что четвертая, последняя асимптота ЛАХ рассматриваемой системы представляет собой полупрямую, выходящую из точки и имеющую наклон — . В точке происходит сопряжение третьей и четвертой асимптот

Таким образом, ЛАХ системы с передаточной функцией (1.40) полностью построена.

- Сопоставляя смежные асимптоты ЛАХ рассматриваемой системы, первую — со второй, вторую — с третьей, третью — с четвертой, можно сделать общий вывод о том, что при переходе , в процессе ее изменения, через значение очередной сопрягающей частоты наклон асимптоты ЛАХ изменяется:

а) на если принадлежит множителю стоящему в знаменателе передаточной функции системы;

б) на если принадлежит множителю стоящему в числителе передаточной функции системы.

Отсюда также следует, что значение наклона каждой асимптоты кратно значению -20 дБ/дек.

Покажем, что по рассмотренной системы может быть восстановлена передаточная функция системы, а следовательно, и фазовая частотная характеристика этой системы.

Обратимся к рис. 1.15. Мы видели при построении что первая асимптота с наклоном -20 дБ/дек соответствует множителю в составе передаточной функции системы вида Запишем этот множитель.

При переходе переменной со через точку наклон асимптоты становится равным -40 дБ/дек, т. е. изменяется на -20 дБ/дек. Это означает, что в знаменатель передаточной функции мы должны включить множитель Таким образом, на втором шаге получим выражение Далее, с ростом со переходим через точку При этом наклон асимптоты изменяется на чему соответствует множитель в числителе передаточной функции.

Следовательно, на третьем шаге получаем выражение

Наконец, при наклон асимптоты изменяется на следовательно, в знаменатель передаточной функции записываем множитель т. е. после четвертого и последнего шага получаем выражение для искомой передаточной функции:

что совпадает с (1.40).

Таким образом, по динамической системы полностью восстановлена передаточная функция этой системы. Поэтому для рассматриваемой системы построения можно не производить.